Предположение становится несколько более правдоподобным, когда становится более правдоподобным аналогичное предполо-Это — ослабленная или затушеванная форма схемы, сформулированной в § 4.
ПРИМЕРЫ И ПРИМЕЧАНИЯ К ГЛАВЕ XII
1. Таблица I, приводящая некоторые индуктивные доводы в пользу упомянутого в § 1 предположения Эйлера, очень похожа на таблицу в § 1. 3, или на табл. I, II и III в гл. IV, или на таблицу Эйлера, приведенную в подкрепление его «Наиболее Необычайного Закона Чисел, Относящегося к Суммам их Делителей», см. § 6. 2. Эти таблицы имеют также сходство с двумя таблицами, приведенными в гл. III, одна в § 3. 1 (многогранники), другая в § 3. 12 (разбиения пространства). С какой из этих двух таблиц больше сходства?
2. Эйлер, проверив свой «Наиболее Необычайный Закон» (см. § 6. 2) для п = 1,2, 3, 4, . . . , 20, переходит к подтверждению его для п = 101 и п = 301. Он имеет достаточное основание предпочесть исследование 101 и 301 исследованию 21 и 22 (которое он ясно высказывает в начале п. 7 своей статьи).
Не учитывая или только смутно припоминая содержание Закона Эйлера, не думали ли бы вы, что подтверждение двух его случаев (101 и 301) имеет с точки зрения испытания большую ценность, чем имело бы подтверждение двух следующих случаев (21 и 22)?
3. Пусть а, 6 и с обозначают стороны треугольника, 2р = а + Ь 4- с — его периметр, А — площадь.
Проверьте формулу Герона
А* = р(р-а){р- Ь) (р - с)
столькими способами, сколькими сумеете.
4. Рассмотрим четырехугольник, вписанный в круг. Пусть а, Ь, с и d обозначают стороны, 2p = a+ 6+ c+ d — периметр, А — площадь.
Утверждается, что
Аг = (р — а) (р -Ь)(р- с) (р - d).
Проверьте это утверждение столькими способами, сколькими сумеете. Есть ли у вас какие-нибудь замечания?
5. Пусть V обозначает объем тетраэдра, а
а, Ь, с, е, f, g
— длины его шести ребер; ребра а, Ь и с оканчиваются в одной и той же вершине тетраэдра, е — ребро, противоположное ребру a, f — ребру bug — ребру с. (Два ребра тетраэдра называются противоположными, если они не имеют общей вершины. ) Ребра е, f и g являются тремя сторонами грани тетраэдра, противоположной вершине, в которой оканчиваются а, Ь и с. Утверждается, что
1441/2 = 4а262с2 _|_ ф2 _|_ с2 _ е2) (с2 _|_ д2 _ f2) (д2 + £2 _ g2) _
— a2 (b2 + с2 — е2)2 — b2 (с2 4- a2 — /2)2 — с2 (а2 + Ъ2 — g2)2.
Проверьте это утверждение столькими способами, сколькими сумеете. [Симмет-' рично ли предлагаемое для V выражение относительно шести ребер?]
6. Положим
an + bn + cn = sn
для п = 1, 2, 3, . . . и определим р, q и г с помощью тождества относительно х: (х — а) (х — Ь) (х — с) — х3 — рх2 4- qx — г.
.
Комментарий:
Автор :
Автор :
Автор Майда:
Боже, не дай мне только написать книгу о книгах!