ветствующим образом связанными. Связи между доказательными схемами — это ясные связи формальной логики. В следующем параграфе мы попытаемся выяснить связи между эвристическими схемами. Настоящий параграф подготовляет нас к следующему посредством обсуждения некоторых простых терминов формальной логики*).
(1) Термин высказывание может быть взят в более общем смысле, но в нашем изложении чаще всего будет достаточно и даже выгодно думать о некотором ясно сформулированном математическом предложении, о котором в данный момент мы не знаем, истинно оно или нет. (Хорошим примером для более подготовленного читателя является знаменитая «гипотеза Римана»: ^-функция Римана2) имеет только действительные нули. Несмотря на усилия многих превосходных математиков, мы не знаем, истинно это высказывание или ложно. ) Для обозначения высказываний мы будем пользоваться прописными буквами А, В, С, . . .
(2) Отрицание высказывания А есть высказЕлвание, которое истинно в том и только в том случае, если А ложно. Отрицание А мы будем обозначать символом не-Л.
(3) Два утверждения «Л ложно» и «не-Л истинно» означают в точности одно и то же. В любом контексте мы можем подставить одно вместо другого, - не изменяя значения, т. е. истинности или ложности, всего текста. Два утверждения, которые можно таким образом подставлять одно вместо другого, называются эквивалентными. Итак, утверждение «Л ложно» эквивалентно утверждению «не-Л истинно». Удобно записывать это в сокращенном виде:
«Л ложно» экв. «Не-Л истинно». Правильно также сказать, что
«Л истинно» экв.
«Не-А ложно» 3), «Не-Л истинно» экв. «Л ложно», «Не-Л ложно» экв. «Л истинно» 3).
(4) Мы говорим, что два высказывания А и В несовместны одно с другим, если они оба не могут быть истинны. Высказывание Л может быть истинно или ложно, В может быть истинно или ложно;
х) Мы излагаем здесь формальную логику на «старомодный» манер (пользуясь обычным языком и избегая логических символов, насколько это осуществимо), но с несколькими современными идеями. Некоторые из простейших логических- символов будут несущественно использованы позднее, особенно в § 7.
а) См. Рима н Б. , Сочинения, М. —Л. , 1948, стр. 218—219. — Прим. иерее.
3) Трудности, связанные с применением закона исключенного третьего к бесконечным множествам, заставляют иногда отказываться от признания правильности этой эквивалентности. Из утверждения, что «Л истинно», и без закона исключенного третьего можно заключить, что «не-Л ложно», обратное же не всегда возможно. — Прим. ред.
.
Комментарий:
Автор :
Автор :
Автор :