сходящийся для всех значений х. Он прослеживает сумму ряда и ее нули для п— I, 2, 3, 4.
л=1: сумма cos х, нули ± я/2, ± Зя/2, ± 5л/2, . . .
/г = 2: сумма (sin х)/х, нули ± л, ± 2л, ± Зя, . . .
п = 3: сумма 2 (1 — cos х)/х2, нули ± 2л, ± 4я, ± 6я, . . . 1
п = 4: сумма 6 (х— sin я)/*3, нет действительных нулей.
Эйлер наблюдает различие: в первых трех случаях все нули действительные, в последнем случае ни один из нулей не является действительным. Эйлер отмечает более тонкое различие между первыми двумя случаями и третьим случаем: для я=1 и п = 2 расстояние между двумя соседними нулями равно я (если только в случае п = = 2 мы не учитываем расстояние между нулями, ближайшими к началу координат), но для л = 3 расстояние между соседними нулями равно 2я (с аналогичной оговоркой). Это приводит его к поразительному наблюдению: в случае п = 3 все нули являются двойными нулями. «Однако мы знаем из анализа, — говорит Эйлер, — что два корня уравнения при переходе от действительных к мнимым корням всегда совпадают.
Таким образом, мы можем понять, почему все нули внезапно становятся мнимыми, когда мы берем для п значение, превосходящее 3». На основании этих наблюдений он высказывает неожиданное предположение: функция, определенная рядом (1), при 0<Я5ё:3 имеет только действительные нули и бесконечное их множество, но при л>3 не имеет ни одного действительного нуля. В этом утверждении п он рассматривает как непрерывно меняющийся параметр.
Во времена Эйлера вопросы о действительности корней трансцендентных уравнений были совершенно новыми, и мы должны признаться, что даже сегодня мы не владеем никаким систематическим методом для решения таких вопросов. (Например, мы не можем доказать или опровергнуть известную гипотезу Римана. ) Поэтому предположение Эйлера кажется чрезвычайно смелым. Я думаю, что мужество и ясность, с которыми он высказал свое предположение, вызывают восхищение.
Однако вызывающее восхищение достижение Эйлера в известной степени можно понять. Другие специалисты совершают подобные же подвиги, занимаясь* другими вопросами, и каждый из нас нечто подобное совершает в повседневной жизни. Фактически Эйлер догадался о целом по нескольким разрозненным деталям. В точности таким же образом археолог с разумной уверенностью может восстановить всю надпись по нескольким разрозненным буквам на стертом камне. Палеонтолог может надежно описать все животное, исследовав несколько его окаменевших костей. Когда человек, которого вы очень хорошо знаете, начинает говорить определенным образом, вы после нескольких слов можете предсказать всю историю, которую он собирается вам поведать. —Совершенно подобным же образом
.
Комментарий:
Автор Никандр:
...голый результат есть труп, оставивший позади себя тенденцию.
Автор Никандр:
...голый результат есть труп, оставивший позади себя тенденцию.
Автор :