и что для л = 0, 1, 2,
1 Я/2
jj (l_x2y-1/2*2"d*= ^ sin2";
dt~ 2 4 ••• 2л 2 •
"6 6
43. Зйлер (Opera Omnia, ser. 1, vol. 14, p. 40, 41) пользовался формулой
l + T + i + \k + - =
= in л • in (1 -*) + ±H1^) + *±й=£ +Щ=^ + . . . ,
справедливой для 0 < a: < 1, чтобы численно найти сумму ряда в левой части.
(a) Докажите эту формулу.
(b) Какое значение х наиболее выгодно для вычисления суммы ряда, стоящего в левой части?
44. Возражение и первый шаг к доказательству. Нет оснований a priori допускать, что sin х может быть разложен на линейные множители, соответствующие корням уравнения
sin х = 0.
Но если бы даже мы допустили это, остается возражение: Эйлер не доказал, что
0, л, —я, 2л, —2л, Зл, —Зл, . . .
— все корни этого уравнения. Мы можем убедиться (рассматривая кривую jV = sin ж), что нет других действительных корней, однако Эйлер никоим образом не исключил возможность существования комплексных корней.
Это возражение было выдвинуто Даниилом Бернулли (сыном Иоганна, 1700—1788). Эйлер ответил на это рассмотрением
е ix_g-ix
sin х —-—-= lim Рп (х),
<-l п-*оэ
где
(i+^Y,_(i_^V4
есть многочлен (степени п, если л нечетное).
Покажите, что Рп (х) не имеет комплексных корней.
45. Второй шаг к доказательству. Предполагая, что л в примере 44 нечетно, разложите Рп (х)/х на множители так, чтобы его k-ii множитель для каждого фиксированного k (fe=l, 2, 3, . . . ) приближался к
х2
когда л стремится к со.
46. Опасности аналогии. Коротко говоря, аналогия между конечным и бесконечным привела Эйлера к великому открытию. Однако его путь проходил по самому краю возможной ошибки. Вот пример, показывающий опасность в задаче меньшего масштаба.
Ряд
1 2 + У~Т + У Т + Т~ ¥ + •••-'
сходится. Его сумма I грубо может быть оценена с помощью первых двух
.
Комментарий:
Автор Елисей:
Во всякой стране молодое поколение - всегда иностранцы.
Автор :
Автор :