Это тот самый ряд, который не поддавался усилиям Якова Бернулли, но это было дерзкое заключение.
(3) Эйлер очень хорошо знал, что его заключение было дерзким. «Метод был новым и никогда еще не использовался для такой пели», — писал он десять лет спустя. Он сам видел некоторые возражения, и многие возражения были выдвинуты его друзьями-математиками, когда они оправились после первого восхищенного изумления.
Однако у Эйлера были свои основания верить в это открытие. Прежде всего числовое значение для суммы ряда, которое он вычислил раньше, до последнего знака согласовалось с я2/6. Сравнивая следующие коэффициенты в его выражении sin х в виде произведения, он нашел сумму другого замечательного ряда, а именно ряда чисел, обратных четвертым степеням:
14-J . : 1 -|_ 1 . : 1 I ^16^81 г 256 ^ 625^'" 90"
Снова он исследовал числовое значение и снова нашел согласие.
(4) Эйлер испытал свой метод и на других примерах. Ему удалось при этом вновь получить сумму л2/6 для ряда Якова Бернулли с помощью различных видоизменений своего первого подхода.
Ему удалось также заново открыть своим методом сумму важного ряда, принадлежащего Лейбницу.
Остановимся на последнем вопросе. Рассмотрим, следуя Эйлеру, уравнение
1 — sin х = 0.
Оно имеет корни
я Зл 5 л 7 л 9л 11я Т> — "2"' 2' ~ ~2' 2~' 2' •••
Каждый из этих корней является, однако, двойным корнем. (Кривая y = s\nx не пересекает при эгих абсциссах прямую _у=1, а касается ее. Производная левой части, но не вторая производная, при этих значениях х обращается в нуль. ) Следовательно, уравнение
~~ Т + ТТ2Т3 ~ 1 . 2-3-4-5+ '
имеет корни
я л Зл Зл 5л 5л 7л 2~' 2~' ~~ "2' ~ ~2' 2' 2"' ~~2'
и заключение Эйлера по аналогии приводит к разложению на линейные множители:
7я
2> ■■
.
Комментарий:
Автор Мадина:
Талант - дар, над которым властвует человек; гений - дар, властвующий над самим человеком.
Автор :
Автор Antip:
Начало есть половина всего.