однако, являются наиболее обычными объектами математики, и математики любят иллюстрировать факты, касающиеся чисел, свойствами фигур, а факты, касающиеся фигур, свойствами чисел. Поэтому существуют бесчисленные виды аналогии между числами и фигурами. Некоторые из этих видов очень ясны. Так в аналитической геометрии мы изучаем точно определенное соответствие между алгебраическими и геометрическими объектами и отношениями. Но многообразие геометрических фигур неисчерпаемо, как неисчерпаемо и многообразие возможных операций над числами; столь же неисчерпаемы и возможные соответствия между этими многообразиями.
(3) Изучение пределов и предельных процессов вводит иной вид аналогии, которую можно назвать аналогией между бесконечным и конечным. Так бесконечные ряды и интегралы в различных отношениях аналогичны конечным суммам, пределами которых они являются; дифференциальное исчисление аналогично исчислению конечных разностей; дифференциальные уравнения, особенно линейные однородные уравнения, до некоторой степени аналогичны алгебраическим уравнениям, и так далее. Важной относительно новой ветвью математики является теория интегральных уравнений; она дает удивительный и прекрасный ответ на вопрос: что в интегральном исчислении является аналогом системы п линейных уравнений с п неизвестными? Аналогия между бесконечным и конечным вызывает особый интерес потому, что она имеет своеобразные трудности и ловушки. Она может вести к открытию или к ошибке; см. пример 46.
(4) Галилей, открывший параболическую траекторию брошенных тел и количественный закон их движения, сделал также великие открытия в астрономии. С помощью своего только что изобретенного телескопа он открыл спутников Юпитера. Он заметил, что эти спутники, обращающиеся вокруг планеты Юпитер, аналогичны Луне, обращающейся вокруг Земли, а также аналогичны планетам, обращающимся вокруг Солнца. Он открыл также фазы Венеры и подметил их сходство с фазами Луны. Эти открытия, воспринятые как великое подтверждение гелиоцентрической теории Коперника, горячо обсуждались в то время. Странно, что Галилей не заметил аналогии между движением небесных тел и движением брошенных тел, которую вполне возможно осознать интуитивно. Траектория брошенного тела обращена своей вогнутостью к земле, и то же самое имеет место для траектории Луны. Ньютон настаивал на этой аналогии: «. . . брошенный камень под действием собственного веса отклоняется от прямолинейного пути, по которому он должен был бы следовать под влиянием только начального броска, и вынужден описать кривую линию в воздухе, и . .
. наконец, упасть на землю; и чем больше скорость, с которой он брошен, тем дальше он пролетит, прежде чем упадет на землю. Поэтому мы можем предположить, что при соответственно возрастающей скорости он опишет дуги в 1, 2, 5, 10, 100, 1000 миль, прежде чем упадет на землю, пока, наконец, покинув пределы Земли, он не должен будет перейти в пространство, не коснувшись ее»1). См. рис. 2. 4.
Меняясь непрерывно, траектория камня переходит в траекторию Луны. И как камень и Луна связаны с Землей, так спутники Юпитера связаны с Юпитером или Венера и другие планеты с Солнцем. Без ясного понимания этой аналогии мы можем только очень несовершенно понять открытие Ньютоном всемирного тяготения, которое до сих пор мы можем рассматривать как величайшее когда бы то ни было сделанное научное открытие.
19. Выясненные аналогии. Аналогия часто является смутной. Ответ на вопрос, что чему аналогично, часто неоднозначен. Смутность аналогии не уменьшает ее интереса и полезности; однако те случаи, когда понятие аналогии
*) См. Sir Isaas Newton's Mathematical Principles of Natural Philosophy and his System of the World, Berkeley, 1946, p. 551. [В русских изданиях Начал Ньютона перевод работы «The System of the World* (Система мира) отсутствует. —Прим. перев. ]
.
Комментарий:
Автор :
Автор :
Автор Stalina:
Поговорите с человеком о нем, и он будет слушать вас часами.