квадратам:
1+1+1+1+1+1+ т4 9 ^ 25 ^ 36 ' 49 ' "- *
«Если кому-либо удастся, — писал Бернулли, — найти то, что до сих пор не поддавалось нашим усилиям, и если он сообщит это нам, то мы будем очень ему обязаны».
Эта задача привлекла внимание друг'ого швейцарского математика, Леонарда Эйлера1) (1707—1783), который родился, как и Яков Бернулли, в Базеле и был учеником Иоганна Бернулли (1667—1748), брата Якова. Он нашел различные выражения для искомой суммы (определенные интегралы, другие ряды), но ни одно из них его не удовлетворяло. Одним из этих выражений он воспользовался, чтобы вычислить сумму с точностью до семи знаков (1,644934). Но это только приближенное значение, а его целью было найти точное. В конце концов он открыл его. Аналогия привела его к чрезвычайно дерзкому предположению.
(1) Начнем с обозрения нескольких элементарных алгебраических фактов, существенных в открытии Эйлера. Если уравнение «-й степени
а0 + ахх + а2х2 +. . . + апхп = 0 имеет п различных корней
а1; а2, . . . , ссп,
то многочлен, стоящий в его левой части, может быть представлен как произведение п линейных множителей,
a0 + a1x+aixi + . . . -tanxn = an(x-a1)(x-a2) . . .
(х-ап).
Сравнивая члены с одной и той же степенью х в обеих частях этого тождества, выводим хорошо известные соотношения между корнями и коэффициентами уравнения, простейшим из которых является
an-i = — ап (ах + а2 +. . . + а„);
мы находим его, сравнивая члены с х"'1.
Разложение на линейные множители можно представить по-другому. Если ни один из корней аъ а2, . . . , а„ не равен 0, или (что то же самое) если а0 отлично от нуля, то мы имеем также
a0 + a^ + ^ + . . . + anx» = a0(l-^)(l-^). . . (l-j)
и
«1 = — ао (— + — + • •• +
!) Более 30 лет своей жизни Эйлер провел в России, где опубликовал в изданиях Петербургской Академии наук, членом которой он являлся, большую часть своих работ. — Прим. перев.
.
Комментарий:
Автор :
Автор :
Автор :