уравнения (А) и (В) вывести одно из другого путем умножения или деления на К (которое, как отношение двух площадей, отлично от 0).
(5) Общая теорема, выраженная в (В), равносильна не только частному случаю (А), но и любому другому частному случаю. Следовательно, если бы какой-нибудь такой частный случай оказался очевидным, то общий случай был бы доказан.
Так вот, пытаясь найти полезную специализацию, поищем подходящий частный случай. И действительно, II представляет такой случай. В самом деле, прямоугольный треугольник, построенный на своей собственной гипотенузе, как хорошо известно и как легко видеть, подобен двум другим треугольникам, построенным на двух его катетах. И, очевидно, площадь всего треугольника равна сумме площадей двух его частей. Таким образом, теорема Пифагора доказана.
Предыдущее рассуждение чрезвычайно поучительно. Случай является поучительным, если мы можем научиться на нем чему-нибудь, приложимому к другим случаям, и тем более поучительным, чем шире границы возможных приложений. И вот на предыдущем примере мы можем научиться употреблению таких фундаментальных мыслительных операций, как обобщение, специализация и восприятие аналогий.
Возможно, не существует открытий ни в элементарной, ни в высшей математике, ни даже, пожалуй, в любой другой области, которые могли бы быть сделаны без этих операций, в особенности без аналогии.
Предыдущий пример показывает, как от частного случая (от случая, представленного фигурой I) с помощью обобщения мы можем подняться к более общей ситуации (к фигуре III) и с помощью специализации вновь спуститься отсюда к аналогичному случаю (к фигуре II). Он демонстрирует также тот факт, столь обычный в математике и тем не менее столь поражающий начинающего или философа, хотя он как будто и знает, что общий случай может быть логически равносилен частному случаю. Наш пример просто и наглядно показывает, как обобщение, специализация и аналогия естественно сочетаются в усилии достигнуть желаемого решения. Заметьте, что, для того чтобы полностью понять предыдущее рассуждение, нужен лишь минимум предварительных знаний.
6. Открытие по аналогии. Аналогия, по-видимому, имеет долю во всех открытиях, но в некоторых она имеет львиную долю. Я хочу проиллюстрировать это примером, не совсем элементарным, но имеющим исторический интерес и производящим значительно более сильное впечатление, чем любой вполне элементарный пример, который я могу себе представить.
Яков Бернулли, швейцарский математик (1654—1705), современник Ньютона и Лейбница, открыл суммы нескольких бесконечных рядов, но ему не удалось найти сумму ряда чисел, обратных
.
Комментарий:
Автор :
Автор :
Автор Мадина:
Талант - дар, над которым властвует человек; гений - дар, властвующий над самим человеком.