различных форм и размеров. Если вы подметите, что стол имеет центр симметрии и что правильное обобщение могло бы состоять в рассмотрении столов с центром симметрии, то получите решение или по крайней мере окажетесь к нему очень близко.
6. Постройте общую касательную двух данных окружностей.
Чтобы помочь вам, я задаю вопрос: Существует ли более доступный крайний частный случай?
7. Ведущий частный случай. Площадь многоугольника равна А, его плоскость образует с др\той плоскостью угол а. Многоугольник ортогонально проектируется на вторую плоскость. Найдите площадь проекции.
Заметьте, что форма многоугольника не дана. Однако имеется бесконечное разнообразие возможных форм. Какую форму следовало бы рассмотреть? Какую форму следовало бы рассмотреть вначале?
Существует одна форма, с которой особенно легко иметь дело: прямоугольник, оснопанпе которого параллельно линии / пересечения плоскости проектируемой фигуры с плоскостью проекции. Если а — основание такого прямоугольника, Ь—его высота и, следовательно, его площадь at, то соответствующие величины для проекции будут а, Ь cos а и ab cos а. Если площадь такого прямоугольника равна А, то площадь его проекции равна Л cos а.
Этот частный случай прямоугольника с основанием, параллельным /, не только особенно доступен; он ярляется ведущим частным случаем. Другие случаи следуют из него; решение задачи в ведущем частном случае включает в себя решение задачи в общем случае. Действительно, отправляясь от прямоугольника с основанием, параллельным /, мы можем распространить правило «площадь проекции равна Л cos а» последовательно на все другие фигуры. Сначала на прямоугольные треугольники с катетом, параллельным / (разбивая на две равные части тот прямоугольник, с которого мы начали). Затем на любой треугольник со стороной, параллельной I (соединяя два прямоугольных треугольника); наконец, на произвольный многоугольник (разбивая его на треугольники только что упомянутого вида). Мы можем даже перейти к фигурам с криволинейными границами (рассматривая их как пределы многоугольников).
8. Угол с вершиной в центре круга вдвое больше угла с вершиной на окружности, опирающегося на то же основание, т. е. на ту же дугу. (Евклид III, 20. )
Если дан угол с вершиной в центре, то угол с вершиной на окружности еще не определен, его вершина может иметь различные положения. Каким является «ведущее частное положение» в обычном доказательстве теоремы (доказательстве Евклида)?
9. Основная в теории аналитических функций теорема Коши утверждает, что интеграл от функции комплексного переменного вдоль произвольной замкнутой кривой равен нулю, если в области, ограниченной этой кривой, функция регулярна. Мы можем рассмотреть частный случай теоремы Коши, когда замкнутая кривая есть треугольник, как ведущий частный случай' доказав теорему для треугольника, мы легко сумеем последовательно распространить ее на многоугольники (соединяя треугольники) и кривые (рассматривая их как пределы многоугольников). Обратите внимание на аналогию с задачами 7 и 8.
10. Частный случай-представитель. Вам нужно решить какую-нибудь задачу о многоугольниках с п сторонами. Вы чертите пятиугольник, решаете задачу для него, изучаете ваше решение и замечаете, что оно в такой же мере годится в общем случае для любого п, как и в частном случае п = 5. Тогда вы можете назвать п — 5 частным случаем-представителем: он представляет вам общий случай. Конечно, для того чтобы быть действительно представителем, случай п = 5 не должен иметь никаких специфических упрощений, которые могли бы ввести вас в заблуждение. Частный случай-представитель должен быть не проще, чем общий случай.
.
Комментарий:
Автор :
Автор Anatolij:
Жизнь не в том, чтобы жить, а в том, чтобы чувствовать, что живешь.
Автор Antip:
Начало есть половина всего.