Частные случаи-представители частно удобны в преподавании. Мы можем доказать теорему об определителях л-го порядка, тщательно рассматривая определители всего лишь 3-го порядка.
11. Аналогичный случай. Задача состоит в проектировании самолетов так, чтобы опасность перелома черепа в случае аварии была наименьшей. Врач, изучающий эту задачу, экспериментирует с яйцами, разбивая их при различных условиях. Что он делает? Он видоизменил первоначальную задачу и изучает теперь - вспомогательную задачу разбивания яиц вместо разбивания черепов. Связь между двумя задачами — первоначальной и вспомогательной — аналогия. С механической точки зрения голова человека и куриное яйцо в общих чертах аналогичны: голова и яйцо состоят из жесткой хрупкой оболочки, содержащей студенистое вещество.
12. Если две прямые в пространстве пересекаются тремя параллельными плоскостями, то соответствующие отрезки пропорциональны.
Чтобы помочь вам найти доказательство, я задаю вопрос: Существует ли более простая аналогичная теорема?
13. Четыре диагонали параллелепипеда имеют общую точку, являющуюся серединой каждой из них.
Существует ли более простая аналогичная теорема?
14. Сумма любых двух плоских углов трехгранного угла больше, чем третий плоский угол.
Существует ли более простая аналогичная теорема?
15. Рассмотрите тетраэдр как тело, аналогичное треугольнику. Перечислите понятия пространственной геометрии, аналогичные следующим понятиям плоской геометрии: параллелограмм, прямоугольник, квадрат, биссектриса угла. Сформулируйте теорему пространственной геометрии, аналогичную следующей теореме плоской геометрии: биссектрисы трех углов треугольника пересекаются в одной точке, являющейся центром окружности, вписанной в треугольник.
16. Рассмотрите пирамиду как тело, аналогичное треугольнику.
Перечислите тела, аналогичные следующим плоским фигурам: параллелограмм, прямоугольник, круг. Сформулируйте теорему пространственной геометрии, аналогичную следующей теореме плоской геометрии: площадь круга равна площади треугольника, основание которого имеет ту же длину, что и окружность, и высота которого равна радиусу.
17. Придумайте теорему пространственной геометрии, аналогичную следующей теореме плоской геометрии: высота равнобедренного треугольника проходит через середину основания.
Какое пространственное тело вы рассматриваете как аналогичное равнобедренному треугольнику?
18. Великие аналогии. (1) Предыдущие примеры 12—17 подчеркивают аналогию между плоской и пространственной геометрией. Эту аналогию можно рассматривать со многих точек зрения и поэтому часто она неоднозначна и не всегда имеет ясные очертания, но она является неисчерпаемым источником новых идей и новых открытий.
(2) Числа и фигуры являются не единственными объектами математики. Математика принципиально неотделима от логики и имеет дело со всеми объектами, которые могут быть объектами точной теории1). Числа и фигуры,
1) На самом деле под «точной теорией» обычно понимается теория, которая может быть арифметизирована так, что теоремы этой теории превращаются в теоремы арифметики. Объявление предметом математики любых объектов, «которые могут быть объектами точной теории», таким образом, не выводит на самом деле за пределы энгельсовского определения математики как науки о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира (см. Энгельс Ф. , Анти-Дюринг, стр. 37, Госполитиздат, 1953; БСЭ, П изд. , статья «Математика»). —Прим. рей.
.
Комментарий:
Автор :
Автор :
Автор Асия:
Сомнение - отчаяние мысли; отчаяние - сомнение личности.