ПРИМЕРЫ И ПРИМЕЧАНИЯ» К ГЛАВЕ II
Первая часть
1. Правильное обобщение.
A. Найдите три числа х, у и г, удовлетворяющие следующей системе уравнений:
9х~ 6у-10г=1, —6х + 4_у+7г=0, х2+ У2+ г- =9.
Если вам нужно решить А, то какое из трех следующих обобщений может лучше способствовать решению: В, С или D?
B. Найдите три неизвестных из системы трех уравнений.
C. Найдите три неизвестных из системы трех уравнений, первые два из которых линейны, а третье второй степени.
D. Найдите п неизвестных из системы л уравнений, первые п—1 из которых линейны.
2. Даны произвольно расположенные точка и «правильная» пирамида с шестиугольным основанием. (Пирамида называется «правильной», если ее основание есть правильный многоугольник, через центр которого проходит высота пирамиды. ) Найдите плоскость, которая проходит через данную точку и делит пополам объем данной пирамиды.
Чтобы помочь вам, я задаю вопрос: Каково правильное обобщение?
3. А. Три прямые, не лежащие в одной плоскости, проходят через одну и ту же точку О. Проведите через О плоскость, одинаково наклоненную к этим трем прямым.
В. Три прямые, не лежащие в одной плоскости, проходят через одну и ту же точку. Точка Р находится на одной из этих прямых; проведите через Р плоскость, одинаково наклоненную к этим трем прямым.
Сравните задачи А и В. Могли бы вы воспользоваться решением одной при решении другой? В чем состоит их логическая связь?
4. А. Вычислите интеграл
со
$ (l + x^dx.
— со
В. Вычислите интеграл
со
I (p + xT3dx,
— со
где р — данное положительное число.
Сравните задачи А и В. Могли бы вы воспользоваться решением одной при решении другой? В чем состоит их логическая связь?
5. Крайний частный случай. Два человека сидят за столом обычной прямоугольной формы. Один кладет на стол пенс, затем то же самое делает другой и так далее, поочередно. Подразумевается, что каждый пенс лежит на столе своей плоскостью и не налегает на какую-нибудь ранее положенную монету. Тот игрок, который кладет на стол последнюю монету, забирает деньги. Какой из игроков должен выиграть, если каждый играет наилучшим образом?
Это старинная, но превосходная головоломка. Мне довелось однажды наблюдать за действительно выдающимся математиком, когда ему была предложена эта головоломка. Он начал с того, что сказал: «Допустим, что стол так мал, что он покрывается одним пенсом. Тогда, очевидно, должен выиграть первый игрок». Иными словами, он начал с рассмотрения крайнего частного случая, в котором решение очевидно.
Из этого частного случая вы можете получить полное решение, если представите себе, стол постепенно расширяющимся и вмещающим все больше и больше монет. Может быть, еще лучше обобщить задачу и подумать о столах
.
Комментарий:
Автор :
Автор :
Автор :