Сравнивая коэффициенты при х в обеих частях равенства, получаем
-1=-
1+1 л ~ Зл
1 + 1 5л Т 7л
3^5 7
Это — знаменитый ряд Лейбница; дерзкий прием Эйлера привел к уже известному результату. «Для нашего метода, — говорит Эйлер, — который может некоторым казаться недостаточно надежным, здесь обнаруживается великое подтверждение. Поэтому мы вообще не должны сомневаться в других результатах, выведенных тем же методом».
(5) Однако Эйлер продолжал сомневаться. Он и дальше производил числовые проверки, описанные выше в (3), исследовал все больше рядов и все больше десятичных знаков и во всех подвергавшихся исследованию случаях находил согласие. Он испытывал и другие подходы, и наконец ему удалось не только приближенно, но и точно подтвердить значение л. 2/6 для суммы ряда Якова Бернулли. Он нашел новое доказательство. Это доказательство, хотя и скрытое и остроумное, опиралось на более обычные соображения и было принято как совершенно строгое. Итак, наиболее бросающееся в глаза следствие открытия Эйлера было убедительно подшерждено. Эти доводы, по-видимому, убедили Эйлера в том, что его результат-правилен
7. Аналогия и индукция. Мы хотим узнать что-нибудь о природе изобретательных и индуктивных рассуждений. Чю мы можем почерпнуть из только что приведенного рассказа?
(1) Решающий шаг Эйлера был дерзким. С точки зрения строгой логики он был явной ошибкой: Эйлер применил правило к такому случаю, для которого правило не было установлено; правило, относящееся к алгебраическим уравнениям, он применил к уравнениям неалгебраическим. С точки зрения строгой логики шаг Эйлера не был оправдан. Однако он был оправдан аналогией, аналогией с наиболее плодотворными достижениями растущей науки, которую через несколько лет он сам назвал «Анализом Бесконечного».
Другие
*) Значительно позже, почти через десять лет после своего первого открытия, Эйлер возвратился к этому вопросу, ответил на возражения, до некоторой степени завершил свой первоначальный эвристический подход и Дал новое, существенно иное доказательство. См. Е u 1 е г, Opera Omnia, ser. 1, vol. 14, p. 73—86, 138—155, 177—186, также 156—176, где содержится ааметка Пауля Штеккеля об истории этой задачи. (См. также Л. Эйлер, Письма к ученым, М. —Л. , 1963, стр. 179—193, 212—215, 227—228. — Прим. перев. ). _
.
Комментарий:
Автор :
Автор :
Автор Illarion:
Застенчивость - это только нервное явление. Все нервные люди застенчивы. Скромность тут совершенно ни при чем.