математики, до Эйлера, переходили от конечных разностей к бесконечно малым разностям, от сумм с конечным числом членов к суммам с бесконечным числом членов, от конечных произведений к бесконечным произведениям. И таким же образом Эйлер перешел от уравнений конечной степени (алгебраических уравнений) к уравнениям бесконечной степени, применяя к бесконечному правила, установленные для конечного.
Эта аналогия, этот переход от конечного к бесконечному, окружен ловушками. Как избежал их Эйлер? Он был гением, ответят некоторые, и, конечно, это вовсе не объяснение. Эйлер имел серьезные основания верить в свое открытие. Имея хоть сколько-нибудь здравого смысла, мы можем понять эти основания без сверхъестественной проницательности, свойственной гениям.
(2) Основания Эйлера для веры в это открытие, кратко изложенные выше *), не являются доказательными. Эйлер не возвращается к исследованию оснований своего предположения2), своего дерзкого перехода от конечного к бесконечному; он только изучает его следствия. Он рассматривает подтверждение любого такого следствия как аргумент в пользу своего предположения. Он принимает и приближенные и точные подтверждения, но, по-видимому, придает больше веса последним. Он изучает также следствия тесно связанных аналогичных предположений3) и рассматривает подтверждение такого следствия как аргумент в пользу своего предположения.
Основания Эйлера в действительности были индуктивными. Изучение следствий предположения и оценка его на основе такого изучения —это типичный индуктивный прием. В научном исследовании, как и в обычной жизни, мы верим, или должны были бы верить, в предположение больше или меньше в соответствии с тем, лучше или хуже его обозримые следствия согласуются с фактами.
Короче говоря, Эйлер, по-видимому, рассуждает таким же образом, как обычно рассуждают разумные люди, ученые или неученые. Он, по-видимому, принимает некоторые принципы:
Предположение становится более правдоподобным после подтверждения любого нового следствия.
И:
Предположение становится более правдоподобным, если становится более правдоподобным аналогичное предположение.
Не этого ли рода принципы лежат в основе процесса индукции?
г) В § 6(3), (4), (5). Собственное краткое изложение Эйлера см. в Opera Omnia, ser. 1, vol. 14, p. 140.
2) Представления sin x в виде бесконечного произведения. s) Особенно произведение для 1 — sin х.
.
Комментарий:
Автор Серапион:
Иной сходит в могилу ста лет, а умер едва родившись.
Автор :
Автор :