Далее, число 0 аналогично числу 1; действительно, прибавление 0 к любому числу, как и умножение любого числа на 1, не меняет этого числа,
а-\-0 = а, а ■ 1 =а.
Эти законы —одни и те же для различных классов чисел; мы можем рассматривать здесь рациональные числа, или действительные числа, или комплексные числа. Вообще, системы объектов, подчиняющиеся одним и тем же основным законам (или аксиомам), можно рассматривать как аналогичные между собой, и этот вид аналогии имеет вполне ясный смысл.
(2) Сложение действительных чисел аналогично умножению положительных чисел еще и в другом смысле. Любое действительное число г есть логарифм некоторого положительного числа р,
r = \og р.
(Если мы рассматриваем десятичные логарифмы, то г — —2 при р = 0,01. ) В силу этого соотношения каждому положительному числу соответствует совершенно определенное действительное число, и каждому действительному числу — совершенно определенное положительное число. При этом соответствии сложение действительных чисел соответствует умножению положительных чисел. Если
r = logp, r' = logp', ," = logp",
то любое из следующих двух соотношений влечет за собой другое:
г + г' = г", рр' = р".
Формула слева и формула справа рассказывают один и тот же рассказ на двух разных языках. Назовем одно из соответствующих чисел переводом другого; например, назовем действительное число г (логарифм р) переводом р, а р оригиналом для г. (Мы могли бы поменять местами слова «перевод» и «оригинал», но должны были сделать выбор, и после этого мы придерживаемся нашего выбора. ) В этой терминологии сложение выступает как перевод умножения, вычитание —как перевод деления, 0 — как перевод 1, коммутативный закон и ассоциативный закон для сложения действительных чисел понимаются как переводы этих законов для умножения положительных чисел. Перевод, конечно, отличается от оригинала, но он является правильным переводом в следующем смысле: из любого соотношения между элементами оригинала мы можем с непреложностью вывести соответствующее соотношение между соответствующими элементами перевода, и наоборот.
Такой правильный перевод, т. е. взаимно однозначное соответствие, сохраняющее законы некоторых соотношений, на техническом языке математика называется изоморфизмом. Изоморфизм есть вполне выясненный вид аналогии.
(3) Третий тип вполне выясненной аналогии есть то, что математики называют на техническом языке гомоморфизмом (или многозначным изоморфизмом). Подробное изложение примера или точное описание этого понятия заняло бы слишком много времени, но мы можем попытаться понять следующее приближенное описание. Гомоморфизм есть своего рода систематически сокращенный перевод. Оригинал не только переводится на другой язык, но и сокращается, так что то, что получается в конечном счете после перевода и сокращения, оказывается систематически равномерно сжатым в половину, или одну треть, или в какую-либо другую долю первоначальной протяженности. Тонкости при таком сокращении могут быть потеряны, но все, что есть в оригинале, чем-то представлено в переводе, и в уменьшенном масштабе соотношения сохраняются.
20. Цитаты.
«Посмотрим, не могли ли бы мы удачно придумать какую-либо другую общую задачу, которая содержит первоначальную задачу и легче поддается решению. Так, когда мы разыскиваем касательную в данной точке, мы представляем себе, что просто разыскиваем прямую, пересекающую данную кривую
.
Комментарий:
Автор Ангел:
Сколько людей не ходило бы в церковь, если бы их видел там один Господь Бог!
Автор :
Автор :