4. Примеры
147
бы легкой. Фактически она даже не была бы новой; она совпала бы с только что решенной задачей (§ 3).
Фиксируем на время одну из первоначально переменных точек, скажем Y. Тогда отрезок XY будет расположен в плоскости, проходящей через фиксированную точку Y и данную прямую а, и только один из его концов, X, будет переменным, пробегающим вдоль прямой а. Очевидно, длина отрезка XY будет минимальной, когда он станет перпендикулярным к а (в силу § 3, рис. 8. 4).
Но мы могли бы поменять роли двух точек X и Y. Фиксируем теперь для разнообразия X и сделаем переменной лишь точку Y. Очевидно, отрезок XY становится наиболее коротким, когда он перпендикулярен к Ъ.
Положение минимума отрезка XY не зависит, однако, от нашей прихоти и от того, какую роль мы приписываем точкам X и Y, и потому у нас возникает подозрение, что в этом положении отрезок перпендикулярен и к а и к Ь. Взглянем все же более внимательно на эту ситуацию.
В действительности предыдущее доказательство прямо показывает, где положение минимума не может находиться (и только косвенно, где оно должно было бы находиться). Я утверждаю, что положение, в котором отрезок XY т перпендикулярен к прямой а в точке А', не является положением минимума. В самом деле, я зафиксирую точку Y и передвину точку X в другое положение так, чтобы X У стал перпендикулярен к а, и при этом я сделаю отрезок XY короче (в силу § 3). Это рассуждение, очевидно, в такой же мере, как к X, применимо и к У, и поэтому мы видим: длина отрезка XY не может быть минимальной, если этот отрезок не перпендикулярен и к а и к Ь. Если кратчайшее расстояние существует, то оно должно достигаться для общего перпендикуляра к двум данным прямым.
Мы не должны ничего брать на веру. На самом деле мы можем с первого взгляда видеть, что общий перпендикуляр действительно дает кратчайшее расстояние. Будем считать, что на рис. 8. 5 плоскость чертежа параллельна обеим данным прямым а и b (а выше, Ъ ниже). Любую точку или прямую в пространстве мы можем рассматривать как представленную на рис. 8. 5 ее ортогональной проекцией. Истинная длина отрезка XY равна гипотенузе прямоугольного треугольника, один катет которого есть ортогональная проекция отрезка XY, изображенная на рис. 8. 5, а второй катет есть кратчайшее расстояние между двумя параллельными плоскостями, одна из которых проходит через а, другая через Ь, причем обе они параллельны плоскости чертежа, к которой второй катет перпендикулярен. Поэтому чем короче проекция отрезка XY, изображенная на рис. 8. 5, тем короче сам отрезок XY. Проекция отрезка XY сводится к точке, ее длина равна нулю, и, таким образом, длина XY минимальна в том и только в том случае, если отрезок XY перпендикулярен к плоскости чертежа и, значит, к обеим прямым а и Ь.
.
Комментарий:
Автор :
Автор :
Автор Мелентий:
Мысль о смерти более жестока, чем сама смерть.