2. Пример
Решение нашей задачи не совсем непосредственно. Но, даже если мы не знаем,' где достигается максимум, мы не сомневаемся в том, что он где-нибудь достигается. Почему это так правдоподобно?
Мы сумеем объяснить это правдоподобие, если ясно представим себе изменение угла, максимум которого мы пытаемся найти. Вообразим, что мы идем по прямой I и смотрим на отрезок АВ. Начнем с точки, в которой прямая / и прямая, проходящая через А и В, пересекаются, и пойдем вправо. Вначале угол, под которым виден отрезок АВ, равен нулю; затем угол возрастает; однако в конце концов, когда мы будем находиться очень далеко от АВ, он снова должен убывать, так как он обращается в нуль на бесконечном расстоянии х). Между двумя крайними случаями, в которых угол равен нулю, он должен где-нибудь стать максимальным. Но где?
На этот вопрос нелегко ответить, хотя мы могли бы указать большие отрезки прямой /, где максимум, вероятно, не достигается. Выберем любую точку на нашей прямой и обозначим ее через X. Очень вероятно, что эта точка, выбранная наугад, не находится в положении максимума, которое мы пытаемся найти. Как мы могли бы с полной ясностью решить, находится ли она в положении максимума или нет?
Довольно легко заметить одно обстоятельство2). Если точка не находится в положении максимума, Рис 8-3 Касательная линия то должна существовать другая уровня, точка, по другую сторону от положения максимума, в которой рассматриваемый угол имеет то же самое значение. Существует ли на прямой / какая-нибудь другая точка X', из которой отрезок АВ виден под тем же углом, как и из точки X? Вот, наконец, вопрос, на который мы легко можем ответить. В силу известного свойства углов, вписанных в окружность (Евклид, III, 21), и X и X' (если точка X' существует) дол1-жны находиться на одной и той же окружности, проходящей через точки А и В.
А теперь может возникнуть идея. Проведем несколько окружностей, проходящих через данные точки А и В. Если такая окружность пересекает прямую / в двух точках, как например X и X' на рис. 8. 3, то отрезок АВ виден из обеих точек X и X' под одним
х) Если мы рассмотрим АХВ как функцию расстояния, измеряемого вдоль прямой I, то сможем обычным способом нарисовать ее график (изобразить его в прямоугольных координатах). Рис. 8. 2 дает качественный набросок графика; Z. АХВ изображается ординатой XY.
2) Очень легко, если мы посмотрим на рис. 8. 2.
.
Комментарий:
Автор :
Автор :
Автор :