моря есть функция от переменной точки, вот что важно для картографа или для вас, когда -вы передвигаетесь по местности; эта функция остается постоянной вдоль каждой линии уровня.
Вот теперь задача, аналогичная нашей только что рассмотренной (в § 2) задаче. Вы идете по дороге, по предписанному пути. В какой точке дороги вы достигнете максимальной высоты над уровнем моря?
Очень легко сказать, где вы ее не достигнете. Точка, которую вы проходите поднимаясь или спускаясь, конечно, не является ни точкой максимальной высоты, ни точкой минимальной высоты. В такой точке ваша дорога пересекает линию уровня: максимум (или минимум). НЕ может достигаться в точке, где предписанный путь пересекает линию уровня.
После этого существенного замечания возвратимся к нашему примеру (§ 2, рис. 8. 1, 8. 2, 8. 3). Рассмотрим весь предписанный путь: часть прямой /, простирающуюся от точки ее пересечения с прямой, проходящей через А и В, на' бесконечное расстояние (вправо). В каждой своей точке этот предписанный путь пересекает линию уровня (дугу окружности с концами в А и В), за исключением только одной точки, где он касается линии уровня (такой окружности). Если где-нибудь есть максимум, то он должен быть в этой точке: в точке максимума предписанный путь касается линии уровня.
Это — очень сильный намек на общую идею, скрывающуюся за нашим примером. Исследуем, однако, этот намек. Применим эту идею к простому аналогичному случаю и посмотрим, как она позволяет решить задачу.
Вот легкий пример.
На данной прямой найти точку, находящуюся на наименьшем расстоянии от данной точки.
Введем подходящие обозначения:
А — данная точка,
а—данная прямая.
Подразумевается, что данная точка А не лежит на данной прямой а. Требуется найти кратчайшее расстояние от А до а.
Решение знает каждый. Вообразите, что вы плаваете в спокойном море; в этот момент вы находитесь в точке А; линия а отмечает совершенно прямой берег. Внезапно вы пугаетесь, вы хотите как можно быстрее достичь твердой земли. Где ближайшая точка берега? Вы это знаете без размышления. Это знала бы и собака. Собака или корова, брошенные в воду, без промедления начинают плыть по перпендикуляру от Л к а.
Однако наша цель состоит не только в том, чтобы найти решение, но и в том, чтобы исследовать общую идею, позволяющую его найти. Величина, минимум которой мы хотим отыскать, есть расстояние от переменной точки до данной точки А. Это расстояние зависит от положения переменной точки. Линии уровня этого расстояния, очевидно, являются концентрическими окружностями с общим центром, А. «Предписанный путь» есть данная прямая а. В точке,
.
Комментарий:
Автор :
Автор Владлена:
Человек по природе добр.
Автор :