В этом варианте решения меньше повторений, но, пожалуй, он является и несколько менее естественным, чем изложенный в (1) и (2).
(4) Еще короче. Мы можем увидеть решение почти с первого взгляда, если заметим, что
1
1
1
4я2-1 (2я-1)(2я+1) 2 \2я-1 2я+1
1
1
(Если мы знакомы с разложением рациональной функции на элементарные дроби, то к этой формуле мы приходим совершенно естественно. ) Полагая л=1, 2, 3, п и складывая, получаем
•1 + 16
1
1 -3
_1_ 2
J_ 2
— 1 ^ 36 - 1
1
3-5
+ 577+-
4п* — 1 1
1-1) + 1 3 ' ~
1 (2и-1)(2я + 1)
+ ••• +
/ 1
1
2«+lJ
я
2я+Г
1
\2n-l 2я+1/]
То, что сейчас произошло, происходит не так уж редко. Теорема, доказанная с помощью математической индукции, часто может быть короче доказана каким-либо другим методом. К такому сокращению может даже привести тщательное исследование доказательства с помощью математической индукции.
(5) Другой пример. Рассмотрим два числа, а и Ь, удовлетворяющих неравенствам
0<а< 1, 0<6< 1.
Тогда, очевидно,
(1-а)(1-*)=1
■ Ь А- аЪ > 1 — а — Ъ.
Естественное обобщение заставляет нас подозревать, что верно следующее утверждение: Если п ^ 2 и 0 <; ах < 1, 0 <г, а2 < 1, .
. . , О <С ап <С 1, то
(1_а1)(1_в2) . . . (1-а„)>1
Докажем его, пользуясь математической индукцией. Мы видели, что это неравенство верно в первом случае, для которого, как утверждается, оно применимо, — для п—1. Поэтому, допустив, что оно верно для п, где п -5= 2, мы должны вывести его для я-[-1.
.
Комментарий:
Автор Римма:
Бди...
Автор Будимир:
Лесть всегда нам нравится, когда она касается качеств, которых нам недостает.
Автор Illarion:
Застенчивость - это только нервное явление. Все нервные люди застенчивы. Скромность тут совершенно ни при чем.