более основательно судить о том, какие догадки могут оказаться правильными, а какие нет.
Математическая индукция является приемом доказательства, часто полезным для подтверждения математических предположений, к которым мы пришли с помощью некоторого процесса индукции. Поэтому если мы хотим приобрести опыт в индуктивном математическом исследовании, то желательно некоторое знакомство с техникой математической индукции.
Настоящий параграф и нижеследующие примеры и примечания могут оказать небольшую помощь в овладении этой техникой.
(1) Индуктивная фаза. Начнем с примера, очень похожего на пример, разобранный в §§ 1 и 2. Мы хотим в какой-либо более короткой форме выразить следующую сумму, связанную с первыми л квадратами:
1+1+1+ + 1
3 1 15 1 35 1 ••" 1 4л2-1
. . . 1 i 1 | 1 | | ' 4 • I2 — 1 т4-22-1 "т" 4 • З2 — 1 ■ '- 4л2 — 1 *
Вычислим эту сумму в первых нескольких случаях и составим таблицу результатов:
п =1, 2, 3, 4, .
. .
3 + 15 + - - - + 4л2 — 1 ~~ 3 ' 5 ' 7 ' 9 ' "' *
Возникает очевидная догадка:
1. 1 + J+ +_i___JL_
3 ^ 15 ~ 35 т; •• т 4л2-1 2л+Г
На основании нашего опыта, приобретенного при решении предыдущей сходной задачи, мы сразу же испытаем наше предположение с наибольшим возможным эффектом: испытаем переход от л к л+1. Если наше предположение^верно всегда, то оно должно быть верно и для л и для л+ 1:
. 4 + ,1+. . . + 1
3 1 15 1 1 4л'2— 1 2л+1'
+ 1+ +_L_ +_!__ Л±1
Вычитая, получаем
4л2—1 1 4(n+l)2 —1 2л + 3" 1 л+1 п
4(л+1)2 —1 2л + 3 2л+Г
Верно ли это следствие из нашего предположения? Преобразуем обе части, стараясь подвести их ближе одну к другой:
1 _ 2л2 + Зя+1—2я2 —Зя (2л + 2)2-1 ~ (2л + 3)(2я+1) '
.
Комментарий:
Автор :
Автор Antip:
Начало есть половина всего.