Примеры и примечания к главе VII
содержится в предыдущем и имеет более короткий периметр, а последним многоугольником в этой последовательности будет Р. Следовательно, периметр Р короче, чем периметр Q.
Нам следует распознать природу предыдущего доказательства; в действительности оно является доказательством с помощью математической индукции. Но что такое я? По отношению к какой величине совершается индукция?
Это серьезный вопрос. Математическая индукция применяется в различных областях и иногда в очень трудных и запутанных вопросах. Пытаясь найти скрытое доказательство, мы можем встретиться с решающим вопросом: что должно играть роль я? По отношению к какой величине нам следует попытаться провести математическую ин-
дукцию. '
Рис. 7. 2. Случай п=\.
В предыдущем доказательстве в качестве я целесообразно выбрать число тех сторон внутреннего выпуклого многоугольника, которые целиком не принадлежат к периметру внешнего многоугольника. Рис. 7. 2 иллюстрирует случай л==1. Я предоставляю читателю выяснить, что целесообразно называть л на рис. 7. 1.
ПРИМЕРЫ И ПРИМЕЧАНИЯ К ГЛАВЕ VII
1. Заметьте, что
1 = 1, 1 — 4 = —(1+2).
1 — 4 + 9= 1 + 2 + 3, 1 — 4 + 9—16= —(1+2 + 3 + 4).
Догадайтесь, к какому общему закону подводят эти примеры, выразите его в подходящих математических обозначениях и докажите.
2.
Докажите выражающие L , Sn и в явном виде формулы, догадку о которых мы высказали соответственно в примерах 3. 13, 3. 14 и 3. 20. [Примеры 3. 11, 3. 12. |
3. Найдите выражение для
13 + 23 + 33 + . . . + я3
и докажите его с помощью математической индукции. [Пример 1. 4. J
4. Найдите выражение для
справедливое для п ^2, и докажите его с помощью математической индукции. 5. Найдите выражение для
(•-т)К)Ы)---('-^).
справедливое для я^ 1, и докажите его с помощью математической индукции.
.
Комментарий:
Автор Hakim:
Поощрение столь же необходимо гениальному писателю, сколь необходима канифоль смычку виртуоза.
Автор :
Автор Будимир:
Лесть всегда нам нравится, когда она касается качеств, которых нам недостает.