мы можем легко понять, если рассмотрим движение брошенных тел», сказал Ньютон, и затем он вообразил камень;который бросают со все большей и большей начальной скоростью до тех пор, пока, его траектория не обойдет вокруг Земли, как траектория Луны; см. пример 2. 18(4). Итак, Ньютон ясно себе представляет непрерывный переход от движения брошенного тела к движению планеты. Он рассматривает переход между двумя случаями, к которым закон всемирного тяготения, доказательство которого он предпринял, должен быть одинаково применим. Любой начинающий, пользующийся математической индукцией для доказательства какой-нибудь элементарной теоремы, поступает в этом отношении подобно Ньютону: он рассматривает переход от п к я-j- 1, переход между двумя случаями, к которым доказываемая теорема должна быть одинаково применима х).
4. Техника математической индукции. Для того чтобы быть хорошим математиком, или хорошим игроком в карты, или хорошим специалистом в любой области, вы должны уметь хорошо догадываться. Для того чтобы уметь хорошо догадываться, вы должны, я бы полагал, - прежде всего иметь природные способности. Однако иметь природные способности недостаточно. Вы должны исследовать ваши догадки, сравнивать их с фактами, видоизменять их, если необходимо, и, таким образом, приобрести широкий (и глубокий) опыт в догадках, которые не оправдались, и в догадках, которые сбылись. С таким опытом в своем подсознании вы, возможно, сумеете
') Роль перехода от я к я +1 в доказательствах с помощью математической индукции вряд ли действительно выясняется простою ссылкою на необходимость изучать инварианты изменения.
Здесь, скорее, следовало бы отметить, что с помощью математической индукции доказательство общего предложения о свойстве всех натуральных чисел сводится (после того как уже проверено, что единица обладает этим свойством) к доказательству другого, общего же, но обычно более легкого для доказательства предложения о «наследуемости» рассматриваемого свойства в ряду натуральных чисел (переход от я к я+1). Если доказательству подлежит категорическое утверждение, что «всякое число я обладает свойством 5», —запишем это в виде (я) S (п) («для всякого я верно, что я обладает свойством S»), —то таким образом мы сводим доказательство его к: (а) доказательству условного предложения: «для всякого п верно, что если п обладает свойством S, то и я+1 также обладает свойством S» ((n) (S (п) ->S(n+l))], и (б) доказательству частного предложения: «единица обладает свойством 5» [5(1)]. Заметим, что если каждое из двух высказываний А и В имеет одинаковые шансы оказаться истинным или оказаться ложным, то шансы каждого из них на ложность равны 1/2. Импликация же А ~> В может быть ложна только в случае, когда А истинно, а В ложно, т. е. ее шансы на ложность равны 1/4. Пользуясь терминологией автора, можно было бы сказать поэтому, что условное предложение: (я) [S (я) ~> 5 (я + 1)] более правдоподобно, чем категорическое: (я) 5 (я). Несмотря на большую громоздкость выражения условного предложения, довольно естественно ожидать поэтому, что доказать его легче, чем доказать категорическое. Важность общности этого условного предложения (требования, чтобы оно было верно для совершенно произвольного-п) хорошо видна на примерах 17 и \8. —Примг ред.
.
Комментарий:
Автор :
Автор Benedikta:
Исключить из наших наслаждений воображение - значит свести их на нет.
Автор :