6. Обобщите соотношение
х 2х°- 4х* 8х*> х __ 16л:18
Т+х + Т+х? + 1+х4 + 1+х8 ~~ 1-х ~ 1 — х"
и докажите ваше обобщение с помощью математической индукции.
7. Рассмотрим операцию, состоящую в переходе от последовательности
е. . а2, аз> ■■■ > ал> •••
к последовательности
sj, $2» s3, . . . , srt, . . .
с общим членом
sn = ai + a2+a3 +■■■ + <*„■
Мы будем называть эту операцию (образование последовательности sb s2, s3, . . . ) «суммированием последовательности аъ а2, а3, . . . ». В этой терминологии мы можем следующим образом выразить уже замеченный (в примере 1. 3) факт: Вы можете от последовательности всех натуральных чисел 1, 2, 3, 4, . . . перейти к последовательности квадратов 1, 4, 9, 16, . . . в два шага: (1) отбросить каждый второй член, (2) суммировать оставшуюся последовательность. В самом деле, взгляните на таблицу
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13. . . 1 3 5 7 9 11 13. . .
1 4 9 16 25 36 49. . .
Докажите это утверждение с помощью математической индукции.
8 (продолжение). Вы можете от последовательности всех натуральных чисел 1, 2, 3, 4, . . . перейти к последовательности кубов 1, 8, 27, 64, . . . в четыре шага: (1) отбросить каждый третий член, (2) суммировать оставшуюся последовательность, (3) отбросить каждый второй член, (4) суммировать оставшуюся последовательность. После того как исследуете таблицу
|
1
|
2 3
|
4
|
5 6
|
7
|
8 9 10
|
11 12
|
13 .
. .
|
|
1
|
2
|
4
|
5
|
7
|
8 10
|
11
|
13 . . .
|
|
1
|
3
|
7
|
12
|
19
|
27 37
|
48
|
61 . . .
|
|
1
|
|
7
|
|
19
|
37
|
|
61 . . .
|
|
1
|
|
8
|
|
27
|
64
|
|
125 . . .
|
докажите это с помощью математической индукции.
9 (продолжение). Вы можете от последовательности всех натуральных чисел 1, 2, 3, 4, . . . перейти к последовательности четвертых степеней 1, 16, 81, 256, . . . в шесть шагов, которые видны из таблицы:
|
1
|
2
|
3 4
|
5
|
6
|
7 8
|
9
|
10
|
11
|
12 13 . . .
|
|
1
|
2
|
3
|
5
|
6
|
7
|
9
|
10
|
11
|
13 . . .
|
|
1
|
3
|
6
|
11
|
17
|
24
|
33
|
43
|
54
|
67 . . .
|
|
1
|
3
|
|
11
|
17
|
|
33
|
43
|
|
67 . . .
|
|
1
|
4
|
|
15
|
32
|
|
65
|
108
|
|
175 . . .
|
|
1
|
|
|
15
|
|
|
65
|
|
|
175 . . .
|
|
1
|
|
|
16
|
|
|
81
|
|
|
256 . . .
|
О чем говорят эти факты?
.
Комментарий:
Автор :
Автор :
Автор Владлена:
Человек по природе добр.