решением примера 12. Однако мы сделали бы это решение бесполезно громоздким, включив материал, рассмотренный в примере . 13, к которому удобнее подойти, как к следствию, с помощью дополнительных замечаний.
Вообще, когда вы пытаетесь придумать доказательство с помощью математической индукции, вам оно может не удаваться по двум противоположным причинам. Оно может вам не удаваться потому, что вы пытаетесь доказать слишком много: ваше Ап+1 — слишком тяжелый груз. Оно может вам не удаваться и потому, что вы пытаететь доказать слишком мало: ваше Ап — слишком слабая опора. Вы должны уравновесить утверждение вашей теоремы так, чтобы опора была как раз достаточна для груза. И, таким образом, механизм доказательства приближает вас к более уравновешенному, более приспособленному взгляду на эти факты. Это можно считать типичным для роли доказательств в создании науки.
15. Перспектива. Более сложные задачи в более трудных областях требуют более усложненной техники математической индукции и ведут к различным видоизменениям этого важного метода доказательства. Некоторые из наиболее замечательных примеров дает теория групп. Интересным вариантом является «обратная математическая индукция», или «заключение от п к п—Ь>; интересный элементарный пример см. в книге Харди Г. Г. , Литтлвуд Дж. Е. и, Полна Г. , Неравенства, М. , 1948, стр. 30 и 33.
16. Дано, что Qi= 1 и
п п__1 д! (я+ 1)! (я + 2)!. .
. (2д— 1)1
Vn-iVn —2„,л-1,0! j j 2,
для /1 = 2, 3, . . . Найдите общее выражение для Qn и докажите, что оно верно.
17. Равны ли любые п чисел? Вы сказали бы «Нет». Все же мы можем попытаться с помощью математической индукции доказать обратное. Более заманчиво, однако, доказать утверждение: «у любых п девушек глаза одинакового цвета».
Для /7=1 утверждение, очевидно, верно (или «бессодержательно»). Остается перейти от я к я+1. Для определенности я перейду от 3 к 4, а общий случай оставлю вам. Позвольте представить вас четырем девушкам: Анне, Бэле, Вере и Галине, или, для краткости, А, Б, В и Г. Предполагается (я = 3), что глаза девушек А, Б и В одинакового цвета. Точно, так же, по предположению, и глаза девушек Б, В и Г одинакового цвета (я = 3). Следовательно, глаза всех четырех девушек А, Б, В и Г должны быть одинакового цвета; для полной ясности можно взглянуть на диаграмму
Т, д, в, г.
Это доказывает утверждение для я+1 =4, а переход, например, от 4 к 5, очевидно, не более труден.
Объясните парадокс. Можете испытать экспериментальный подход, посмотрев в глаза нескольким девушкам.
18. Если параллельные прямые рассматривать как пересекающиеся (в бесконечности), то утверждение «любые я прямых на плоскости имеют общую точку» верно для я=1 («бессодержательно») и для я = 2 (благодаря нашей интерпретации). Постройте (парадоксальное) доказательство с помощью математической индукции.
.
Комментарий:
Автор Hakim:
Поощрение столь же необходимо гениальному писателю, сколь необходима канифоль смычку виртуоза.
Автор Jerik:
Не получить вовсе - не страшно, но лишиться полученного обидно.
Автор :