10. Замечая, что
|
|
|
= 1.
|
|
-5
|
|
= —4,
|
|
-5+10
|
|
= 6,
|
|
-5+10-
|
10
|
= —4,
|
|
-5+10-
|
10 + 5
|
= 1,
|
|
-5+10-
|
10 + 5-
|
1= о,
|
приходим к общему утверждению
:н;К"Н;)+-+< -ч*)-<->\.
для
0<k<n, я=1, 2, 3, . . .
Доказывая это с помощью математической индукции, предпочтете ли вы переходить от п к я + 1 или же от k к fe+1?
11. В теннисном турнире имеется 2я участников. В первом круге турнира каждый участник играет ровно один раз, так что всего проводится я игр, в каждой из которых занято два игрока. Покажите, что пары для первого круга могут быть составлены точно
1-3-5-7 . . . (2л—1)
различными способами.
12. Доказать больше иногда легче. Пусть
1~/оМ
и определим последовательность /о(х), t\{x), fa(x), . . . условием, что
. dfn (х)
fn+i (х) — х"
dx
для я = 0, 1, 2, 3, . . . (Такое определение называется рекуррентным: чтобы найти /п+1, мы должны возвратиться к /„. ) Замечая, что
докажите с помощью математической индукции, что для я^=1 числитель /„ (х) есть многочлен, свободный член которого равен 0, а другие коэффициенты— натуральные числа.
13 (продолжение). Найдите с помощью индукции и докажите с помощью математической индукции дальнейшие свойства функции fn (х).
14. Уравновесьте вашу теорему\ Типичное предложение А, доступное доказательству с помощью математической индукции, имеет бесконечное множество
случаев Ах, Аг, А3. . . . . Ап, . . . Случай Аг часто является легким; как бы то
ни было, Аг должен поддаваться определенным средствам. Раз Ах установлен, нам нужно, предполагая Ап, доказать Ап+1. Предложение А', более сильное, чем А, иногда доказать легче, чем А1). Действительно, пусть А' состоит из случаев А'у A'v А'п, . . . Переходя от А к А', мы делаем груз доказательства более тяжелым: вместо А„+1 мы должны доказать более сильное А^1. Однако мы делаем и опору для доказательства более крепкой: вместо Ап мы можем пользоваться дающим больше информации А'п. Это иллюстрируется
х) Это «парадокс изъбретателя»; см. «Как решать задачу», стр. 138.
.
Комментарий:
Автор Елисей:
Во всякой стране молодое поколение - всегда иностранцы.
Автор Illarion:
Застенчивость - это только нервное явление. Все нервные люди застенчивы. Скромность тут совершенно ни при чем.
Автор Ангел:
Сколько людей не ходило бы в церковь, если бы их видел там один Господь Бог!