3 Исследование переходов
ТЭТ
Оно верно для я=1.
Если оно верно для я, то оно также верно и для я+1.
Тогда предположение верно для всех целых чисел: верно для 1, следовательно, и для 2; верно для 2, следовательно, и для 3 и т. д.
Мы здесь имеем фундаментально важный прием доказательства. Мы могли бы назвать его «переходом от п к л+1», но обычно его называют «математической индукцией». Этот обычный термин является очень неподходящим названием для приема доказательства, так как индукция (в смысле, в котором этот термин чаще всего употребляется) дает только правдоподобное, а не доказательное умозаключение
Имеет ли математическая индукция какое-нибудь отношение к индукции? Да, имеет, и мы рассматриваем ее здесь по этой причине, а не только из-за ее названия
В приведенном нами примере доказательное рассуждение § 2 естественно завершает индуктивное рассуждение § 1, и это типично. Доказательство § 2 выступает как «математическое дополнение к индукции», и если слова «математическая индукция» мы возьмем в этом смысле в качестве сокращения, то этот термин в конечном счете может оказаться вполне подходящим (Возьмем их поэтому в этом смысле, не расходясь с установившейся математической терминологией ) Математическая индукция часто возникает как заключительный шаг или последняя фаза индуктивного исследования, и в этой последней фазе часто используются наводящие соображения, возникшие в предыдущих фазах.
На другой и еще лучший повод для рассмотрения в настоящем контексте математической индукции намекает приведенная в начале этой главы выдержка из книги Эрнста Маха 1).
Исследуя предположение, мы рассматриваем различные случаи, к которым это предположение должно быть применимо. Мы хотим увидеть, является ли соотношение, утверждаемое предположением, устойчивым, г. е. независимым от изменения случаев, не нарушаемым таким изменением. Наше внимание, таким образом, естественно, обращается к переходу от одного такого случая к другому. «Что посредством центростремительной силы планеты могуг удерживаться на некоторых орбитах,
J) Мах был уверен, что метод математической индукции изобрел Яков Бернулли, но, по видимому наибольший вклад в его изобретение принадлежит Паскалю Ср FreudenthalH, Archives Internationales d'h'stoire des sciences, no 22 (1953), p 17—37 Ср также Jacobi Bernoulli Basileensis Opera, vol 1, Geneve, 1744, p 282—283 ГВ истории открытия метода математической индукции, на мой взгляд, недостаточное место уделяется Декарту Суть его знаменитого правила энумерации ведь и. состояла в том, что для изучения необозримого множества случаев их необходимо расположить «как бы по ступеням» (упорядочить по типу натурального ряда чисел), изучить свойства объекта, находящегося на первой ступени, и способ перехода от одной ступени к следующей Так именно Декарт и считал возможным изучить общие свойства алгебраических кривых,— Прим, ред ]
.
Комментарий:
Автор :
Автор :
Автор Farhad:
Не думай, как бы ни был ты велик, Что ты всего достиг и все постиг.