Предположительно
(1 - ах). . . (1 — ап) > 1 — аг —. . . — ап
и мы знаем, что
Следовательно,
0<а„+1<1.
(1 - ах). . . (1 - а„)(1 - а„+1)>(Г— ах —. . . — ап)(1 -а„+1) =
= 1 — ах —. . . — а„ — ап+1 + (ai + • • • + ап) ап+1 > > 1 — ах —. . . — ап — а„+1.
Мы вывели для я 4-1 т0> чт0 предположили для я: доказательство закончено.
Отметим, что математической индукцией можно пользоваться и для доказательства предложений, которые применимы не к абсолютно
всем натуральным числам, а ко всем натуральным числам, начиная с некоторого.
Например, только что доказанная теорема относится к значениям я^2.
(6) Что такое я? Рассмотрим теперь одну теорему плоской геометрии.
Если выпуклый многоугольник Р содержится в многоугольнике Q, то периметр Р меньше, чем периметр Q.
То, что площадь внутреннего многоугольника Р меньше, чем площадь внешнего многоугольника Q, очевидно. Но сформулированная теорема совсем не так очевидна; без ограничения, что Р — выпуклый многоугольник, она была бы неверна.
Рис. 7. 1 показывает существенную идею доказательства. Мы отрезаем от внешнего многоугольника Q заштрихованный кусок; остается новый многоугольник Q', часть Q, обладающий двумя свойствами.
Во-первых, Q' еще содержит выпуклый многоугольник Р, который, будучи выпуклым, целиком лежит по одну сторону от прямой А В', полученной в результате продолжения стороны АВ многоугольника Р.
Во-вторых, периметр Q' короче, чем периметр Q. Действительно, периметр Q' отличается от периметра Q лишь постольку, поскольку первый содержит прямолинейный отрезок, соединяющий точки А' и В', а второй вместо него содержит ломаную линию, содержащую эти точки (на дальней стороне заштрихованного куска). Однако прямая линия есть кратчайшее расстояние между точками А' и В'.
Как мы перешли от Q к Q', так мы можем перейти от Q' к другому многоугольнику Q". Таким образом, мы получаем последовательность многоугольников Q, Q', Q", . . . Каждый многоугольник
Р и с. 7. 1. От я к я4- 1-
.
Комментарий:
Автор :
Автор :
Автор Illarion:
Застенчивость - это только нервное явление. Все нервные люди застенчивы. Скромность тут совершенно ни при чем.