Как связаны две последние строки? Нам может прийти в голову идея исследовать их отношение:
я 1 2 3 4 5 6 . . .
12 + 2з + . . . + яа 1 A L я 11 13 l+2 + . . . + я 3 "3 "3 3
Здесь правило очевидно, и, если отношения из второй строки записав следующим образом:
3 5 7 j 11 13
3" "3 3 3 3 3"'
его почти невозможно не заметить. Едва ли мы сможем удержаться и не сформулировать предположение, что
ia + 2a + . . . + n°- _ 2п+1 1+2 + .
. . + n ~ 3 *
Пользуясь значением знаменателя в левой части, которое мы считаем известным, можем высказать наше предположение в форме
12_|_ 22+ 32+ | д2= я(я+1П2я+ 1)
Верно ли это? То есть всегда ли это верно? Формула, конечно, верна в частных случаях я=1, 2, 3, 4, 5, 6, из которых она возникла. Верна ли она и в следующем случае я = 7? Предположение приводит нас к предсказанию, что
1 + 4 + 9+ 16 + 25 + 36 + 49 = 7-86'15 ,
и, действительно, обе части оказываются равными 140.
Мы могли бы, конечно, перейти к следующему случаю л = 8 и проверить его, но соблазн не так уж велик. Так или иначе, мы склонны верить, что формула подтвердится и в следующем случае, и, таким образом, это подтверждение увеличило бы нашу уверенность, но мало, так мало, что едва ли стоит тратить время на вычисления. Как мы могли бы испытать наше предположение с большим эффектом?
Если предположение верно при любом п, то оно должно было бы не зависеть от изменения случаев, оно должно сохраняться при переходе от одного случая к другому. Предположительно,
1+4 + ,,, + я2="(я+уга + 1).
Однако, если эта формула верна при любом п, то она должна быть справедлива и для следующего п: мы должны иметь
1 + 4 + . . . + л2 + (л+1)2=("+1)(га + 2)(2га + 3).
.
Комментарий:
Автор :
Автор Ангел:
Сколько людей не ходило бы в церковь, если бы их видел там один Господь Бог!
Автор :