где предписанный путь пересекает линию уровня, минимум не достигается. В действительности он достигается в (единственной) точке, в которой предписанный путь касается линии уровня (в точке М на рис. 8. 4). Кратчайшее расстояние от точки А до прямой а есть радиус окружности с центром А,- касающейся а, что мы и знали сначала. Всё же мы кое-чему научились. Общая идея кажется теперь более ясной, и сделать ее совершенно ясной можно предоставить читателю.
Отчетливо запомнив общие черты предыдущих задач, естественно постараться подыскать аналогичные задачи, к которым мы могли бы применить такую же схему решения. Раньше мы рассматривали переменную точку на плоскости и отыскивали минимум или максимум функции от такой точки на предписанном пути. Мы смогли бы, однако, рассматривать переменную точку в пространстве и отыскивать минимум или максимум функции на предписанной поверхности. На плоскости особую роль играли касательные линии уровня. Аналогия побуждает нас ожидать, что по- ,
добную роль в пространстве будут иг-
Р и с. 8. 4. Другая касатель- Рис. 8.
5. Две скрещи-
ная линия уровня. вающиеся прямые.
4. Примеры. Рассмотрим два примера, которые могут быть решены одним и тем же. методом, но в остальном имеют очень мало общего.
(1) Найти наименьшее расстояние между двумя данными скрещивающимися прямыми.
Введем обозначения:
а и Ъ — две данные скрещивающиеся прямые,
X — переменная точка на прямой а,
К—переменная точка на прямой Ь; см. рис. 8. 5. Требуется определить такое положение прямолинейного отрезка XY, при котором он является наиболее коротким.
Расстояние XY зависит от положений двух концов X и Y отрезка XY, причем оба они являются переменными. Имеются две переменные точки, а не всего лишь одна, и в этом характерная трудность задачи. Если бы одна- из этих двух точек была задана, фиксирована, постоянна, а изменялась только другая, то задача была
.
Комментарий:
Автор Ruslan:
Книга жизнеспособна лишь в том случае, если дух ее устремлен в будущее.
Автор Markell:
Когда миф превращается в действительность, чья это победа - материалистов или идеалистов?
Автор :