23. Числовые выкладки и инженер. Неспециалист склонен думать, что числовые выкладки ученого непогрешимы, но скучны. На самом деле числовые выкладки ученого могут быть захватывающе рискованны, но ненадежны. Древние астрономы пытались, а современные инженеры пытаются получить числовые результаты, касающиеся недостаточно известных явлений с помощью недостаточно известных математических средств. Едва ли удивительно, что такие попытки могут не удаваться; куда более удивительно, что часто они удавались. Вот типичный пример. (Технические детали, пропущенные здесь, будут опубликованы где-нибудь в другом месте. )
Инженер хочет вычислить некоторую физическую величину Q, связанную с квадратом со стороной 1. (В действительности Q — жесткость на кручение бруса с квадратным поперечным сечением, но читателю нет необходимости это знать, фактически он не обязан даже знать, что такое жесткость на кручение. ) Точное решение упирается в математические трудности и поэтому наш инженер, как инженеры часто делают, обращается к приближениям. Следуя определенному методу аппроксимации, он делит данный квадрат на равные «элементы», т. е. на и2 меньших квадратов, каждый площади 1/«2. (Аппроксимируя двойной интеграл, мы также подобным же образом разбиваем данную площадь на элементы. ) Можно разумно ожидать, что, когда п стремится к бесконечности, приближенное значение стремится к истинному значению. На самом же деле, однако, когда п возрастает, трудность вычислений также возрастает, и так быстро, что вскоре становится непреодолимой. Инженер рассматривает только случаи п = 2, 3, 4, 5 и получает для Q соответствующие приближенные значения:
0,0937 0,1185 0,1279 '0,1324.
Не забудем, что ати числа соответствуют значениям
1/4 1/9 1/16 1/25
площадей маленьких квадратов, использованных при вычислениях.
Инженер изображает эти результаты графически. Он решает наносить приближенные значения, полученные для Q, как ординаты, но колеблется относительно выбора абсциссы. Сначала ои пробует в качестве абсциссы п, затем 1/п
2 3 4 5
Рис. 11. 4. Испытание: абсцисса п.
1 1 5 h
11 г51д
Рис. 11. 5. Другое испытание: абсцисса 1/п.
Рис. 11. 6. Абсцисса 1/п2: удача!
и наконец 1/п2 (что является численным значением площади маленького квадрата, использованного при аппроксимации); см. соответственно рис. 11. 4, 11. 5 и 11. 6. Последний выбор является самым лучшим: четыре точки на рис. 11. 6 приблизительно лежат на одной прямой. Замечая это, инженер продолжает эту прямую до тех пор, пока она не пересечет вертикальную ось, и рассматривает ординату точки пересечения как «хорошее» приближение для Q.
(a) Почему? На какой идее это основано?
(b) Проверьте рис. 11. 6 численно: соедините каждую точку со следующей прямолинейным отрезком и вычислите три угла наклона.
(c) Выберите две наиболее надежные точки на рис. 11. 6, воспользуйтесь прямой, проходящей через них в конструкции инженера, вычислите получающееся в результате приближения для Q и сравните его с истинным значением Q, равным 0,1406.
.
Комментарий:
Автор Jemmanuil:
Ищите Бога в своем собственном сердце, вы не найдете его больше нигде.
Автор :
Автор Jerik:
Не получить вовсе - не страшно, но лишиться полученного обидно.