Мы коснулись здесь двух обычных эвристических допущений: одного относительно системы уравнений, другого относительно бесконечного ряда. - Такие допущения имеются в каждой области математики, и одним из главных достоинств специалиста в этой области является знание распространенных допущений и знание того, как ими можно воспользоваться и насколько им можно доверять.
Конечно, не следует чрезмерно доверять ни любой догадке, ни обычным эвристическим допущениям, ни вашим собственным предположениям. Без доказательства верить что ваша догадка справедлива, было бы глупо. Однако предпринять какую-то работу в надежде, что ваша догадка может оказаться справедливой, пожалуй, разумно. Осторожный оптимизм — разумная позиция.
ПРИМЕРЫ И ПРИМЕЧАНИЯ К ГЛАВЕ XI
1. Даны основание треугольника а, высота ft, опущенная на а, и угол а, противоположный а. Следует: (а) построить треугольник, {Ь) вычислить его площадь. Все ли данные необходимы?,,
2. Даны высота трапеции ft, средняя линия /и, параллельная двум основаниям трапеции и находящаяся от каждой из них на одинаковом расстоянии, и углы а и р между одним из оснований и двумя остальными (наклонными) сторонами. Следует: (а) построить трапецию, (Ь) вычислить ее площадь. Все ли данные необходимы?
3. Пояс есть часть поверхности шара, содержащаяся между двумя параллельными плоскостями. Высота пояса есть расстояние между этими двумя плоскостями. Даны радиус шара г, высота пояса ft и расстояние d от центра шара до той ограничивающей плоскости, которая ближе к центру. Найдите поверхность пояса. Есть какие-нибудь замечания?
4. Первая сфера имеет радиус а. Вторая сфера, радиуса Ь, пересекает первую сферу и проходит через ее центр. Вычислите площадь той части второй сферы, которая лежит внутри первой.
Есть какие-нибудь замечания? Проверьте крайние случаи.
5. Пересмотрите пример § 2 и докажите решение.
6. Шаровой сегмент есть часть шара, содержащаяся между двумя параллельными плоскостями. Его поверхность состоит из трех частей: сферического пояса и двух кругов, называемых основанием и крышкой сегмента. Мы пользуемся следующими обозначениями:
а —- радиус основания, b — радиус крышки,
ft — высота (расстояние между основанием и крышкой), М — площадь среднего поперечного сечения (параллельного основанию и крышке и находящегося от них на одинаковом расстоянии), V — объем сегмента. Даны а, Ъ и ft; найдите Mh — V.
Ecib какие-нибудь замечания? Проверьте несколько крайних случаев.
7. Ось конуса проходит через центр шара. Поверхность конуса пересекает поверхность шара по двум окружностям и делит шар на две части: «конически продырявленный шар» и «пробку» (см. фигуру на рис. 11. 2, которую следует вращать вокруг прямой АВ); пробка находится внутри конуса. Пусть г обозначает радиус шара, с — длину хорды, образующей при вращении коническое отверстие, и ft (высота продырявленного шара) — проекцию с на ось конуса. Даны г, с и ft. Найдите объем конически продырявленного шара. Есть какие-нибудь замечания?
.
Комментарий:
Автор :
Автор Anatolij:
Жизнь не в том, чтобы жить, а в том, чтобы чувствовать, что живешь.
Автор :