8. Ось параболоида вращения проходит через центр шара, и их поверхности пересекаются по двум окружностям. Вычислите объем кольцеобразного тела, заключенного между этими двумя поверхностями (внутри шара и вне параболоида), если даны: радиус шара г, проекция h кольцеобразного тела на ось параболоида и расстояние d центра шара от вершины параболоида. (Вращайте рис. 11. 3 вокруг ОХ. ) Есть какие-нибудь замечания?
Рис. 11. 2. Конически продырявленный шар.
Рис. 11. 3. Параболически продырявленный шар.
9. Даны нижнее основание трапеции а, верхнее основание Ь и высота h; a>b. Трапеция, вращаясь вокруг своего нижнего основания, описывает тело вращения (цилиндр, прикрытый двумя конусами), для которого найдите (а) объем и (Ь) площадь поверхности. Достаточно ли данных для определения неизвестных?
10. Десять чисел, выбранных в определенном порядке, «__, и. г, и3, . . . , и10, связаны так, что, начиная с третьего, каждое из них является суммой двух предыдущих:
"я = «я-1+• "я-2 Для п = 3, 4. . .
. . 10.
Дано и7; найдите сумму всех десяти чисел % + щ + . . . + «10.
11. Вычислите
со
С dx
(14-**) (!+*«)•
Есть какие-нибудь замечания? Проверьте случаи а = 0, а -> со, а -*■ — оо.
12. Обобщите пример 11. [Сначала попробуйте самое простое. ]
13. Напишите одно уравнение с одним неизвестным, не определяющее неизвестного.
14. Если природа неизвестных ограничена подходящим добавочным условием, то одно уравнение может определять несколько неизвестных. Например, если х, у и z — действительные числа, то они полностью определяются уравнением
х2 + У2 + г2 = 0.
Найдите все системы положительных целых чисел х, у, удовлетворяющие уравнению х2 + у2 = 128.
15. Найдите все системы положительных целых чисел х, у, г, ю, удовлетворяющие уравнению хг + у2 + г2 + т2 = 64.
16. Общий случай. Рассмотрите систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:
ахх + Ьху + c,z = dlt ch. x + b2y + c2z — d2, aax + bay + c^z = da.
.
Комментарий:
Автор Farhad:
Не думай, как бы ни был ты велик, Что ты всего достиг и все постиг.
Автор Варя:
Она всегда умела привести цитату, а это хорошая замена собственному остроумию.
Автор Мелентий:
Мысль о смерти более жестока, чем сама смерть.