аккуратную математику, и, таким образом, они с помощью подобных приемов получали хорошие результаты даже в тех случаях, когда математическая ошибка была менее очевидна и потому более опасна, чем в нашем примере.
21. Вознагражденный оптимизм. Даны величины а, Ь, с, d, е, /, g и h. Исследуем, допускает ли система четырех уравнений с четырьмя неизвестными х, у, и и V.
ах 4- by 4- cv -4- du = О, ex 4- /г/ + gv 4- Ли = О, Л* + §2/ + /у + ей = О, + сг/ 4- to + аи — О,
решение, отличное от тривиального решения x=z/=m=w=0. Система (S) имеет, как мы знаем, нетривиальное решение в том и только в том случае, если ее определитель равен нулю, но мы хотим избежать непосредственного вычисления этого определителя четвертого порядка. Своеобразная симметрия системы (S) может натолкнуть на мысль положить
и = х, v = у.
Тогда первое уравнение системы (S) совпадает с четвертым, а второе с третьим, так что система четырех уравнений сведется к системе только двух различных уравнений:
(а 4- d)x 4- (b + с)у = О, (e+h)x+ (f+g)y= 0.
Эта система допускает нетривиальное решение в том и только в том случае, если ее определитель равен нулю.
Однако мы можем также преобразовать систему (S), полагая
и = — х, v = —у.
Опять мы получаем только два различных уравнения:
(а — d) х 4- (b — с) у = 0,
(е - я) х 4- (/ - g) У = 0.
Обращение в нуль определителя первой или второй системы двух уравнений влечет за собой обращение в нуль определителя системы (S). Поэтому (если мы достаточно оптимистичны) мы можем подозревать, что этот последний определитель четвертого порядка является произведением двух указанных определителей второго порядка.
(a) Докажите это и обобщите результат на определители n-го порядка.
(b) В каком отношении были мы оптимистичны?
22. Возьмите систему координат как в § 9. 4. Ось х горизонтальна, а ось у направлена вниз. Соедините начало координат с точкой (а, Ь)
(1) прямой,
(2) дугой окружности с центром на оси х.
Материальная точка, начинающая двигаться из положения покоя в начале координат, достигает точки (а, Ь) за время Тг или То в зависимости от того, скользит ли она (без трения) вниз по прямой (1) или по дуге (2). Галилей (как рассказано в § 9. 4) считал, что 7\ > Т2. После некоторой обработки это неравенство оказывается равносильным следующему: h
\ (х (1-х))"3/4 dx < 4Л1/* (1 -h)-1'\ о
где мы полагаем
а2 (а2 4- б2)-1 = h.
Мы могли бы попытаться доказать это неравенство, разложив обе части равенства по степеням п. Что было бы самой простой (или «наиболее оптимистической») возможностью?
.
Комментарий:
Автор :
Автор Antip:
Начало есть половина всего.
Автор Гедеон:
Мои результаты мне давно известны, я только не знаю, как я к ним приду.