Складывая эти три уравнения, получаем
хАгу-т-г^хАгу + г,
или
0 = 0.
Поэтому любое уравнение этой системы является следствием двух других уравнений. Наша система содержит только два независимых уравнения и, следовательно, на самом деле недостаточна для определения неизвестных.
Задача существенно изменяется, если завещание содержит также и следующее распоряжение: «Я делю все мое состояние, состоящее из 15 000 долларов, между моими тремя сыновьями». Это распоряжение прибавляет к написанной выше системе уравнение
xAryA-z=15000.
Мы имеем теперь более широкую систему из четырех уравнений. Но, вообще говоря, система из четырех уравнений с тремя неизвестными противоречива. На самом же деле, однако, наша система не противоречива, а как раз достаточна для определения неизвестных, и она даег
х = 7000, j = 5000, г = 3000.
Из кажущихся противоречий этого не слишком глубокого примера не так уж трудно выпутаться, но тщательное объяснение может оказаться полезным.
Не верно, что «система п уравнений с п неизвестными определяет неизвестные». В самом деле, мы только что видели противоречащий пример при л=3. То, о чем здесь идет речь, является, однако, не математической теоремой, а эвристическим утверждением, в действительности следующим утверждением: «Система п уравнений с п неизвестными, вообще говоря, определяет неизвестные».
Слова «вообще говоря» можно понимать по-разному. Здесь речь идет о несколько туманном и грубом «практическом» истолковании: утверждение имеет место «вообще говоря», если оно имеет место «в огромном большинстве таких случаев, которые, вероятно, должны естественно встретиться».
Собираясь решить геометрическую или физическую задачу с помощью алгебры, мы интуитивно пытаемся выразить рассматриваемое условие уравнениями. Каждый пункт этого условия мы пытаемся выразить каким-либо уравнением и стараемся исчерпать таким путем все условие. Если нам удается набрать столько уравнений, сколько У нас неизвестных, то мы надеемся, что сумеем определить эти неизвестные. Такая надежда разумна. Наши '. уравнения «встретились естественно»; мы можем ожидать, что находимся «в. общем случае». Однако пример этого параграфа как раз не встретился естественно;
.
Комментарий:
Автор :
Автор Гедеон:
Мои результаты мне давно известны, я только не знаю, как я к ним приду.
Автор Paulina:
Способность к негодованию составляет важнейшую часть вооружения всякого честного человека.