Мы следовали чему-то похожему на этот совет в § 2, когда допустили, что с изменением формы тела изменяется и его объем, и мы были введены в заблуждение. Тем не менее высказанный принцип часто бывает полезен. Возможно, нам потребуется доказать неравенство вида
ь ь
^ f (х) dx < ^ g (х) dx,
а а
где а < Ь. Мы можем начать, пробуя доказать большее, а именно:
f(x)<g(x).
Это сводится к тому, чтобы сначала допустить, что функция, имеющая производную g (х) — / (х), монотонна. (Задача состоит в сравнении значений этой функции для х = а и х = Ь. ) Высказанный принцип содержится в более общем эвристическом принципе: «сначала попробуйте самое простое».
«Вообще говоря, функция может быть разложена в степенной ряд, первый член которого дает приемлемое приближение, и чем больше членов мы возьмем, тем лучшим будет приближение».
Без должным образом понимаемого ограничения «вообще говоря» это утверждение было бы вопиющим образом неверно. Тем не менее физики, инженеры и другие ученые, применяющие в своей науке математический. анализ, по-видимому, особенно его любят. Оно включает в себя другой принцип, даже более широкий, чем тот, который мы сформулировали ранее: «Неизвестную функцию сначала рассматривайте как линейную». Действительно, если мы имеем разложение
f (х) = а0 + ахх + а,хг + а^х3 + .
. . , то мы можем приближенно взять
/ (х) ~ а0 + ахх.
(Следует заметить, что Галилей, на знавший анализа бесконечно малых, уже отдавал сильное предпочтение линейной функции; см. § 4. ) Настоящий принцип лежит в основе той значимости, которую часто приписывают начальному члену относительной погрешности; см. § 5 (2). Этот принцип часто бывал полезен, наталкивая на какую-нибудь идею, близкую к истине, однако он легко может натолкнуть и па что-нибудь очень далекое от истины.
В самом деле, физик (или инженер, или биолог) может прийти к убеждению, что физическая величина у зависит от другой физической величины х так, что имеет место дифференциальное уравнение
Теперь интегрирование, требующееся для решения этого уравнения, может оказаться слишком трудным или вид функции f (у) может быть неизвестен. В обоих случаях физик разлагает функцию f (у) по степеням у, и он может рассматривать как последовательные приближения возникающие при этом дифференциальные уравнения:
Тх-~а°'
--а0 + а1У'
йу dx
Однако этим трем уравнениям удовлетворяют кривые весьма различной природы и приближение может оказаться только вводящим в заблуждение. К счастью, физики больше полагаются на тщательное рассуждение, чем на
.
Комментарий:
Автор :
Автор :
Автор Радомир:
Легче переносить терпеливо то, что нам не дано исправить.