и бывают случаи, когда мы можем отгадать ответ вполне разумно и с очень небольшими усилиями.
В качестве иллюстрации рассмотрим элементарную задачу пространственной геометрии. Ось цилиндра проходит через центр шара. Поверхность цилиндра пересекает поверхность шара и делит шар на две части: «продырявленный шар» и «пробку». Первая часть расположена вне цилиндра, вторая — внутри. См. фигуру на рис. 11. 1, которую нужно было бы вращать вокруг вертикальной прямой АВ. Даны радиус шара г и высота цилиндрического отверстия п. Найти объем продырявленного шара.
Знакомясь с предложенной задачей, вполне естественно приходим к обычным вопросам: Достаточны ли данные для определения неизвестного? Или они недостаточны? Или чрезмерны? Данные г и h кажутся как раз достаточными. Действительно, г определяет размер шара, ah — размер цилиндрического отверстия. Зная г и h, мы можем определить продырявленный шар по форме и размеру, и, с другой стороны, для его определения нам нужны г и п.
Однако, вычисляя искомый объем, мы находим, что он равен л/г3/6; см. пример о.
Этот результат кажется крайне парадоксальным. Мы убедились в том, что для определения формы и размеров продырявленного шара нам нужны и г и h, а теперь оказалось, что для определения его объема г нам не нужно; это звучит совершенно неправдоподобно.
Тем не менее здесь нет противоречия. Если h остается постоянным, а г возрастает, то продырявленный шар заметно изменяется по форме: он становится шире (что ведет к увеличению объема), но его внешняя поверхность становится более плоской (что ведет к уменьшению объема). Мы только не предвидели (и это а priori кажется довольно невероятным), что эти две тенденции в точности уравновешиваются, и объем остается неизменным.
Чтобы понять и этот частный случай и лежащую в его основании общую идею, мы должны отделить одну от другой разные задачи. Нам следует ясно различать две родственные, но не одинаковые задачи. Если даны г и h, то от нас может требоваться определить
(a) объем и
(b) форму и размер
продырявленного шара. Нашей первоначальной задачей было (а). Мы интуитивно видели, что задание г и h и необходимо и достаточно для решения (Ь). Отсюда следует, что этих данных достаточно и для
Рис. 11. 1 ный шар.
Продырявлен-
.
Комментарий:
Автор :
Автор :
Автор :