Современному нам уму эта идея должна с самого начала казаться довольно плохой, потому что она имеет так мало отношения ко всем остальным нашим знаниям о природе. Предположение Кеплера, даже если бы оно и находилось в лучшем согласии с наблюдениями, было бы подкреплено слабо, потому что оно не подкреплялось бы аналогией с чем-либо. известным из других источников.
Тем не менее догадка Кеплера, оказавшаяся ошибочной, самым несомненным образом была полезной для перехода к лучшей догадке. Она привела Кеплера к более тщательному исследованию средних расстояний планет, их орбит, их времен обращения, для которых он надеялся найти какое-нибудь подобное же «объяснение», и, таким образом, она в конце концов привела к знаменитым законам движения планет Кеплера, к Ньютону и ко всем нашим современным научным воззрениям.
20. Несколько обычных эвристических допущений. Эта тема заслуживала бы более полного разбора, однако мы ограничимся очень коротким перечнем и отрывочными замечаниями. Мы должны быть осторожны, когда интерпретируем слова «вообще говоря» в «практическом», неизбежно несколько туманном смысле.
«Если в системе уравнений столько же уравнений, сколько и неизвестных, то «вообще говоря» неизвестные определяются».
Если в задаче столько же условий, сколько имеющихся в распоряжении параметров, то разумно начать с ориентировочного допущения, что задача имеет решение. Например, квадратичная форма от п переменных имеет п (п + 1)/2 коэффициентов, а ортогональное преобразование п переменных зависит от п(п — 1)/2 параметров. Поэтому с самого начала довольно правдоподобно, что подходящим ортогональным преобразованием любая квадратичная форма от п переменных может быть приведена к выражению
Vi+ V«+ ••-• +
Ух, !h, ■■■ , Уп — новые переменные, введенные преобразованием, а %и Я,, . . . . . . Д„ — подходящие параметры. В самом деле, это выражение зависит от я параметров, и
п(п + 1)/2 = п(п — 1)/2 + я.
Это замечание, возникающее после доказательства этого предложения в частных случаях п = 2 и п = 3, и объяснение геометрического смысла этих случаев могут вызвать довольно сильную уверенность в том, что верен и общий случай.
«Две предельные операции вообще говоря коммутативны».
Если одна из этих предельных операций — суммирование бесконечного ряда, а другая — интегрирование, то мы имеем случай, упомянутый в § 7).
«Что верно до предела, то вообще говоря верно и в пределе» 2).
Если дано, что ап > 0 и lim ап = а, то мы не можем заключить, что а > 0;
п ->со
верно лишь, что а ;> 0. Рассмотрим кривую как предел вписанных ломаных и поверхность — как предел вписанных многогранников. Вычисление длины кривой как предела длины вписанной ломаной дает правильный результат, однако вычисление площади поверхности как предела площади поверхности вписанного многогранника может дать неправильный результат3). Высказанный эвристический принцип, хотя он и легко может ввести нас в заблуждение, является наиболее благодарной почвой для появления новых идей. См. , например, пример 9. 24.
«Неизвестную функцию сначала рассматривайте как монотонную». _/
г) См. X а р д и Г. X. , Курс чистой математики, М. , 1949, стр. 503—505.
2) Ср. W h е w е 1 1 W. , The Philosophy of the Inductive Sciences, new ed. , V. 1, p. 146.
3) Cm. Schwarz. H. A. , Gesammelte Mathematische Abhandiungen, V. 2r S. 309—311. (См. также Фихтенгольц Г. M. , Основы математического анализа, т. 2, п. 364. — Прим. перев. )
.
Комментарий:
Автор Наиля:
Слова, еще слова и только слова: это все, что нам оставили самые знаменитые философы шестидесяти поколений.
Автор Ангел:
Сколько людей не ходило бы в церковь, если бы их видел там один Господь Бог!
Автор Vanda:
Все, что следовало сделать в литературе по-шекспировски, в основном сделал уже Шекспир.