Предполагаем, что 12 данных чисел аъ Ьъ с1( dx, аг, . . . , d3 — действительные числа. Система называется определенной, если существует только одно решение (только одно множество х, у, г трех чисел, ей удовлетворяющих), неопределенной, если существует бесконечное множество решений, и несовместной, если решений нет. С разных точек зрения случай, когда система является определенной, выступает как общий, обычный, нормальный, правильный случай, а другие случаи —■ как исключительные, необычные, ненормальные, неправильные.
(a) Геометрически мы можем интерпретировать множество трех чисел х, у, г как точку в прямоугольной системе координат, а каждое уравнение как множество точек, ему удовлетворяющих, как плоскость. (На "самом деле для такой интерпретации мы должны допустить, что в левой части каждого уравнения имеется по крайней мере один не равный нулю коэффициент, но будем так и считать. ) Система трех уравнений является определенной, если три плоскости имеют только одну общую точку. Когда они имеют две общие точки, они имеют и общую прямую, и, таким образом, система является неопределенной. Когда три плоскости параллельны одной и той же прямой, но не имеют точек, общих всем трем, система несовместна. Если три плоскости находятся в «общем положении», если они «выбраны наугад», то они имеют только одну общую точку, и система является определенной.
(b) Алгебраически система трех уравнений является определенной в том и только в том случае, если определитель из 9 коэффициентов левой части не равен нулю. Следовательно, система является определенной, если на коэффициенты не наложено специальное условие или ограничение в форме уравнения.
(c) Множество из девяти (действительных) коэффициентов (аъ а. ъ а3, Ьх. . . . . с3)
мы можем интерпретировать как точку в девятимерном пространстве. Точки, соответствующие системам, не являющимся определенными (неопределенным или несовместным), удовлетворяют уравнению (определитель = 0), и, значит, они образуют многообразие низшей размерности (восьмимерную «гиперповерхность») .
(d) Бесконечно невероятно, чтобы система трех линейных уравнений с тремя неизвестными, заданная наугад, оказалась неопределенной. Ср.
пример 14. 23.
17. Рассмотрите для каждого из пяти правильных многогранников вписанную и описанную сферы и вычислите отношения их радиусов.
18. Столбец (3) табл. I остался бы неизменным, если бы мы переменили местами куб и октаэдр или додекаэдр и икосаэдр. Эта неопределенность должна была представлять для теории Кеплера существенное затруднение. Однако Кеплер проявлял необычайную изобретательность в изыскании причин, по которым одно из этих пяти благородных тел должно обладать более высоким благородством, чем другое, и главенствовать над ним, как барон главенствует над баронетом.
Найдите некоторое простое геометрическое свойство, отличающее три многогранника, которые Кеплер поместил вокруг земной орбиты, от двух, которые он поместил в этой орбите.
19. Никакая идея не является действительно плохой. «Многие догадки оказались ошибочными, но тем не менее полезными, приводя к лучшей догадке». «Никакая идея не является действительно плохой, если мы не принимаем все без критики. Что действительно плохо, это не иметь никакой идеи вообще» Ч. Я почти ежедневно пользуюсь этими сентенциями, чтобы утешит того или иного студента, предлагающего какую-нибудь честную, но наивную идею. Эти сентенции подходят и к тривиальным повседневным ситуациям и к научному исследованию. Наиболее эффектно они подходят к случаю Кеплера.
Самому Кеплеру с его своеобразным переходным от средневековой к современной точке зрения состоянием ума его идея сочетания шести планет с пятью - правильными многогранниками казалась ослепительной. Однако я не могу себе представить, чтобы такую идею мог возыметь современник Кеплера, Галилей.
1)'«Как решать задачу», стр. 99—103.
.
Комментарий:
Автор :
Автор Будимир:
Лесть всегда нам нравится, когда она касается качеств, которых нам недостает.
Автор :