где п — любое данное положительное целое число, имеет решение, в котором х, у, z и w являются неотрицательными целыми числами.
Разложение числа в сумму квадратов можно рассматривать и с других точек зрения. Так, мы можем исследовать число решений уравнения
п = х2-\-у2
в целых числах х и у. Мы можем допускать только положительные целые числа или все целые числа, положительные, отрицательные или 0. Если мы -выберем последнее понимание задачи и возьмем в качестве примера и = 25, то найдем 12 решений уравнения
25 = х2+У,
а именно следующие:
25 = 52 А- О2 = (—5)2 + О2 = О2 + 52 = 0а А- (—5)2 =
= 42 4- З2 = (—4)2 4- З2 = 42 4- (—З)2 = (—4)2 4- (—З)2 = = з2 4- 42 = (—З)2 4- 42 = З2 4- (—4)2 = (—З)2 4- (—4)2.
Между прочим, эти решения имеют интересную геометрическую интерпретацию, но нам нет необходимости ее здесь рассматривать. См. пример 2.
3.
О сумме четырех нечетных квадратов. Из многих задач, относящихся к суммам квадратов, я выбираю задачу, которая выглядит несколько искусственной, но окажется чрезвычайно поучительной.
Пусть и обозначает положительное нечетное число. Исследовать индуктивно число решений уравнения
4и = х2 -\-у2 Ar z2 4- w2
в положительных нечетных числах х, у, z и w. Например, если и=1, то мы имеем уравнение
4 = x2Ary2 + z2Arw\
и, очевидно, имеется всего лишь одно решение x—y — z — w—l. В самом деле,
х — —1, у—1, 2=1, w—l
или
х = 2, у = 0, z = 0, а> = 0
мы не рассматриваем как решения, так как предполагаем, что х, у, z и w могут быть только положительными нечетными числами. Если и = 3, то уравнение имеет вид
12 = лг24-^24-г24-а»2
.
Комментарий:
Автор :
Автор Гедеон:
Мои результаты мне давно известны, я только не знаю, как я к ним приду.
Автор :