2. Суммы квадратов. Задача о целочисленных прямоугольных треугольниках, одним аспектом которой мы только что занимались (в § 1), играла, как мы сказали, важную роль в истории теории чисел. Она приводит в действительности к многим дальнейшим вопросам. Какие вообще числа, квадраты или нет, могут быть разложены в сумму двух квадратов? Что можно сказать о числах, которые не могут быть разложены в сумму двух квадратов? Возможно, они разложимы в сумму трех квадратов; но что можно сказать о числах, неразложимых в сумму трех квадратов?
Мы могли бы продвигаться беспредельно, но, и это в высшей степени замечательно, мы в этом не нуждаемся. Баше де Мезириак (автор первой печатной книги о математических развлечениях) заме!ил, что любое (г. е. положительное целое) число есть или квадрат, или сумма двух, трех или четырех квадратов. Он не претендовал на доказательство. От нашел намеки, приводящие к этому утверждению, в некоторых задачах Диофанта и убедился, что оно верно для всех чисел до 325.
Короче говоря, утверждение Баше было всего лишь предположением, найденным индуктивно. Мне кажется, что главным его достижением была постановка вопроса: СКОЛЬКО квадратов нужно, чтобы представить все целые числа? Раз этот вопрос ясно поставлен, не представляет особых трудностей найти ответ с помощью индукции. Мы составляем таблицу, начиная с
|
1 =
|
1,
|
|
2 =
|
1 + 1,
|
|
3 =
|
|
|
4 =
|
■4,
|
|
5 =
|
4+1,
|
|
6 =
|
4+1 +
|
|
7 =
|
4+1 +
|
|
8 =
|
4 + 4,
|
|
9 =
|
9,
|
|
10 =
|
9+ 1.
|
Этим предположение подтверждается для чисел до 10. Только число 7 требует четырех квадратов; другие представимы с помощью одного, двух или трех. Баше продолжил таблицу для чисел до 325 и нашел много чисел, требующих четырех квадратов, и ни одного требующего больше. Такие индуктивные доводы, по-видимому, убедили его, по крайней мере до некоторой степени, и он опубликовал свое утверждение. Ему повезло. Его предположение оказалось верным, и, таким образом, ему принадлежит открытие «теоремы о четырех квадратах», которую мы можем сформулировать и в такой форме: Уравнение
п = х2 -{-у2 + Z2 + W2,
.
Комментарий:
Автор :
Автор Варя:
Она всегда умела привести цитату, а это хорошая замена собственному остроумию.
Автор :