Эти шесть сумм имеют одни и те же члены, но порядок членов различен; в соответствии с постановкой нашей задачи они должны рассматриваться как 6 различных представлений; одно представление
100 = 49 + 49+1 +1
с невозрастающими членами является источником пяти других представлений, а всего шести представлений. Подобным же образом имеем:
Невозрастающие члены Число расположений
81 +9+9+1 32
49 + 49+ 1 + 1 6
49 + 25 + 25+ 1 12
25 + 25 + 25 + 25 1
Подводя итог, мы находим в нашем случае, когда и—25 и 4и = 100, количество представлений числа 4и=100 в виде суммы 4 нечетных квадратов:
12 + 6+ 12+ 1 =31.
5. Составление таблицы наблюдений. Частный случай и = 2о, где 4гг=100 и число представлений равно 31, ясно показывает нам смысл задачи. Мы можем теперь систематически изучить простейшие случаи, и=1, 3, 5, . . . до и = 25. Составим таблицу (см.
стр. 87, читателю следует самому составить таблицу или по крайней мере проверить несколько строк).
6. Каково правило? Существует ли какой-нибудь закон, который мы могли бы распознать, какая-либо простая связь между нечетным числом и и числом различных представлений числа 4и в виде суммы четырех нечетных квадратов?
Этот вопрос — ядро нашей задачи. Мы должны на него ответить на основании наблюдений, собранных и сведенных в таблицу в предыдущем параграфе. Мы находимся в положении натуралиста, пытающегося извлечь из своих экспериментальных данных какое-нибудь правило, какую-нибудь общую формулу. Экспериментальный материал, имеющийся к этому моменту в нашем распоряжении, состоит из двух параллельных рядов чисел:
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 1 4 6 8 13 12 14 24 18 20 32 24 31
Первый ряд состоит из последовательных нечетных чисел, но какое правило управляет вторым рядом?
Когда мы пытаемся ответить на этот вопрос, наше первое чувство может быть близко к отчаянию. Этот второй ряд кажется совершенно неправильным, нас озадачивает его сложное происхождение, мы едва ли можем надеяться найти какое-нибудь правило. Однако если мы забудем
.
Комментарий:
Автор Будимир:
Лесть всегда нам нравится, когда она касается качеств, которых нам недостает.
Автор Наиля:
Слова, еще слова и только слова: это все, что нам оставили самые знаменитые философы шестидесяти поколений.
Автор :