для хх, х2, . . . , Xk все целые числа, положительные, отрицательные или нуль, то число решений мы обозначаем символом Rk (п). Если мы допускаем только положительные нечетные чнсла, то число решений обозначаем символом S^(rt). Эти обозначения играют важную роль в большей части следующих задач.
Предположение Баше (§ 2) выражается в этих обозначениях неравенством
Ri(n)>Q для /t=l, 2, 3, . . .
Предположение, открытое нами в § 6, утверждает, что S4 (4 (2п—1)) равно сумме делителей числа 2/г — 1 для п=\, 2, 3, . . . . Найдите R2 (25) и S3 (11).
2. Пусть х и у —прямоугольные координаты на плоскости. Точки, для которых и х и у суть целые числа, называются «точками решетки» на плоскости. Точки решетки в пространстве определяются аналогично.
Найдите геометрическую интерпретацию R2 (п) и R3(n) в терминах точек решетки.
3. Выразите предположение, с которым мы встретились в § 1, пользуясь символом Ра (л).
4. Когда нечетное число является суммой двух квадратов? Попытайтесь ответить на этот вопрос с помощью индукции, исследуя таблицу
3 —
5= 4+1
7 — 11 — 13= 9 + 4 17=16+1 19 -23
29 = 25 + 4 31 —
Продолжите, если необходимо, эту таблицу и сравните ее с таблицей § 1.
5. Могли бы вы путем математической дедукции подтвердить какую-нибудь часть вашего ответа к примеру 4, полученного с помощью индукции? После такого подтверждения не было ли бы разумно изменить вашу веру в предположение?
6. Проверьте предположение Баше (§ 2) для чисел до 30 включительно. Какие числа действительно требуют четырех квадратов?
7. Пусть a3, b2, с'А и & обозначают четыре различных нечетных квадрата. Чтобы лучше понять табл. I в § 5, рассмотрите суммы
(1) а2 + Ь2 + с2 + #,
(2) аЗ + а2+й2 + с2,
(3) а3 + а2 + 62+62,
(4) аа + а2 + а2 + Ь2,
(5) а*-г-а? + а* + а*.
Сколько различных представлений (в смысле § 3) вы можете получить из каждой суммы с помощью перестановки членов?
8. Число представлений числа 4и в виде суммы четырех нечетных квадратов нечетно в том и только в том случае, если и есть квадрат. (Следуя обозначениям § 3, мы предполагаем, что и нечетно. ) Докажите это утверждение и покажите, что оно находится в согласии с предположением § 6. Какое влияние оказывает это замечание на вашу веру в это предположение?
.
Комментарий:
Автор :
Автор :
Автор :