Это — видоизменение нашего первоначального вопроса. Оно может казаться более многообещающим: во всяком случае, оно является новым. Исследуем его снова с помощью индукции. При небольшой настойчивости мы составим следующую таблицу (черта указывает, что нет прямоугольного треугольника с гипотенузой р).
Нечетное простое число р
3
5
7 11 13 17 19 23 29 31
Когда простое число является гипотенузой и когда нет? В чем различие между этими двумя случаями? Физик легко мог бы задать себе какие-нибудь очень похожие вопросы. Например, он исследует двойное лучепреломление кристаллов. Некоторые кристаллы действительно обнаруживают двойное лучепреломление, другие нет. Какие кристаллы являются дважды лучепреломляющими, а какие нет? В чем различие между этими двумя случаями?
Физик разглядывает свои кристаллы, а мы разглядываем свои два множества простых чисел:
5, 13, 17, 29, . . . и 3, 7, 11, 19, 23, 31, .
. .
Хотелось бы отыскать какое-нибудь характеристическое различие между этими двумя множествами. Числа в обоих множествах возрастают неправильными скачками. Посмотрим на длины этих скачков, на последовательные разности:
5 13 17 29 3 7 11 19 23 31
84 12 44848
Многие из этих разностей равны 4 и, как легко заметить, все они делятся на 4. Числа в первом множестве, начинающемся с 5, при делении на 4 дают остаток 1, имеют вид 4я+1 с целым п. Числа из второго множества, начинающегося с 3, имеют вид 4я+3. Могло бы это быть характеристическим различием, которое мы ищем? Если мы с самого начала не отбросим этой возможности, то придем к следующему предположению: простое число вида 4я 4-1 является гипотенузой в точности одного целочисленного прямоугольного треугольника; простое число вида 4я+3 не является гипотенузой ни одного такого треугольника.
П рямоугольные треугольники с гипотенузой р
25== 16 + 9
1 «9 =144 + 25 289 = 225 + 64
841 =441 +400
.
Комментарий:
Автор Радомир:
Легче переносить терпеливо то, что нам не дано исправить.
Автор Hakim:
Поощрение столь же необходимо гениальному писателю, сколь необходима канифоль смычку виртуоза.
Автор Jemmanuil:
Ищите Бога в своем собственном сердце, вы не найдете его больше нигде.