92
Гл. IV. Индукция в теории чисел
Точность предсказания. Предположение Баше предсказывает, что число решений ^ 1; наше — предсказывает, что число решений в точности равно такой-то и такой-то величине. Очевидно, разумно допустить, как я полагаю, что подтверждение более точного предсказания имеет больше веса, чем подтверждение менее точного предсказания. В этом отношении преимущество явно на нашей стороне.
Соперничающие предположения. Предположение Баше относится к максимальному числу квадратов, скажем М, необходимому для представления произвольного положительного целого числа в виде суммы квадратов. Действительно, предположение Баше утверждает, что Ж = 4. Я не думаю, что Баше, a priori имел какое-нибудь основание предпочесть Л4 = 4, скажем, М = 5 или любому другому значению, например М = 6 или М = 7; a priori не исключено даже М = оо. (Естественно, М = оо означало бы, что существуют все большие и большие целые числа, требующие все большего и большего числа квадратов. На первый взгляд Ж = оо могло бы казаться наиболее вероятным предположением. ) Короче говоря, у предположения Баше есть много очевидных соперников. А у нашего нет ни одного. Когда мы рассматривали неправильную последовательность чисел представлений (§ 6), у нас было впечатление, что мы можем оказаться не в состоянии найти никакого правила. Теперь мы все-таки нашли замечательно ясное правило. Нам трудно надеяться найти какое-нибудь другое правило.
Может оказаться трудным выбрать невесту, если, для выбора имеется много привлекательных юных леди: если же поблизости есть всего лишь одна подходящая девушка, то решение может прийти намного быстрее.
Мне кажется, чго наше отношение к предположениям отчасти сходно. При прочих равных условиях предположение, имеющее многих очевидных соперников, принять труднее, чем предположение, не имеющее соперников. Если вы думаете так же, как и я, то вы должны найти, что в этом отношении преимущество на стороне нашего предположения, а не на стороне предположения Баше.
Пожалуйста, заметьте, что доводы в пользу предположения Баше сильнее в одном отношении, а доводы в пользу нашего предположения сильнее в других отношениях, и не задавайте вопросов, на которые нельзя ответить.
ПРИМЕРЫ И ПРИМЕЧАНИЯ К ГЛАВЕ IV
1. Обозначения. Мы предполагаем, что п и k — положительные целые числа и рассматриваем диофантово уравнение
n — x\+xl + . . . + x\.
Мы говорим, что два решения xlt х2. . . . . и x'lt х!>, x'k равны в том
и только в том случае, если х1 — х[, х2 = х'2, xk — x'k. Если мы допускаем
.
Комментарий:
Автор :
Автор Мелентий:
Мысль о смерти более жестока, чем сама смерть.
Автор Серапион:
Иной сходит в могилу ста лет, а умер едва родившись.