Возможно ли, что jcb = 121? Т. е. является ли разность 144 —дга=144— 121 =У
квадратом? Нет, 23 не квадрат. Теперь нужно было бы испытать другие квадраты, но в действительности испытывать слишком много из них нет необходимости. Так как у х, то
144 = д:2+_у2^2д:2, х3^72,
так что л:* =100 и jc2 = 81 —единственные остающиеся возможности. Но ни одно из чисел
144 - 100 = 44, 144-81 =63
не является квадратом, и отсюда ответ: не' существует ни одного целочисленного прямоугольного треугольника с гипотенузой 12.
Рассмотрим подобным же образом гипотенузу 13. Из трех чисел
169- 144 = 25, 169- 121 =48, 169- 100 = 69
квадратом является только одно и, таким образом, существует лишь один целочисленный прямоугольный треугольник с гипотенузой 13:
169= 144 + 25.
Действуя подобным образом, мы можем при некоторой настойчивости исследовать все числа до данного не слишком высокого предела, например 20.
Мы находим только пять «гипотенуз», меньших чем 20,— числа 5, 10, 13, 15 и 17:
25= 16+ 9, 100= 64 + 36, 169= 144 + 25, 225=144 + 81, 289 = 225 + 64.
Между прочим, случаи 10 и 15 не очень интересны. Треугольник со сторонами 10, 8 и 6 подобен более простому треугольнику со сторонами 5, 4 и 3, и это же верно для треугольника со сторонами 15, 12 и 9. Остающиеся три прямоугольных треугольника с гипотенузами соответственно 5, 13 и 17 существенно различны; ни один из них не подобен другому.
Мы можем подметить, что все три числа 5, 13 и 17 являются нечетными простыми числами. Однако это не все нечетные простые числа до 20; ни одно из других нечетных простых чисел 3, 7, 11 и 19 не является гипотенузой. Почему? В чем различие между этими двумя множествами? Когда, при каких условиях нечетное простое число -является гипотенузой и когда не является?
.
Комментарий:
Автор :
Автор :
Автор :