с общим членом 2'2"-f-l. Он заметил, что первые четыре члена (указанные здесь), соответствующие л = 1, 2, 3 и 4, являются простыми числами. Он предположил, что следующие члены также являются простыми числами. Хотя он и не доказал этого, он чувствовал такую уверенность в справедливости своего предположения, что бросил вызов Валлису и другим английским математикам, предлагая его доказать. Однако Эйлер нашел, что уже следующий член, 23--(-1, соответствующий л = 5, не является простым числом: он делится на 641См. цитату из Эйлера в начале этой главы: «Однако мы видели случаи, когда простая индукция вела к ошибке».
10. Проверяя предположение Гольдбаха для 2л = 60, мы последовательно испытывали простые числа р до л = 30. Однако мы могли бы также испытывать простые числа р' между л = 30 и 2л = 60. Какой прием скорее всего окажется более выгодным для больших л?
11. В словаре вы найдете среди объяснений слов «индукция», «эксперимент» и «наблюдение» предложения вроде следующих:
«Индукция есть выведение общего закона из частных случаев, или предъявление фактов, чтобы доказать общее утверждение». «Эксперимент есть прием для проверки гипотез».
«Наблюдение есть точное прослеживание и регистрирование явлений в том виде, как они появляются в природе, по отношению к причине и результату или взаимным связям».
Применимы ли эти описания к нашему примеру, рассмотренному в §§ 2
и 3?
12. Да и нет. Математик, подобно натуралисту, проверяя некоторые следствия предполагаемого общего закона с помощью нового наблюдения, обращается с вопросом к Природе: «Я подозреваю, что этот закон верен. Верен ли он?» Если следствие ясно опровергается, то закон не может быть верен. Если следствие ясно подтверждается, то имеется некоторое указание, что закон может быть верен. Природа может ответить «Да» или «Нет», но она шепчет один ответ и громогласно произносит другой; ее «Да» условно, ее «Нет» определенно.
13. Опыт и поведение. Опыт вносит изменения в поведение человека. Вместе с тем опыт вносит изменения в человеческие представления. Поведение человека и его представления не независимы. Поведение часто является результатом представлений, представления—это потенциальное поведение. Однако вы можете видеть поведение другого человека, но не можете видеть его представлений. Поведение легче наблюдать, чем представления. Каждый знает поговорку: «Кто обжегся на молоке, тот дует на воду» 2), выражающую как раз то, что мы сказали: опыт вносит изменения в поведение человека.
Впрочем, он вносит изменения и в поведение животных.
Неподалеку от моего дома есть гадкая собака, которая лает и бросается на людей безо всякого повода.
Но я обнаружил, что довольно легко могу себя защитить. Если я нагибаюсь и делаю вид, что поднимаю камень, то собака с визгом убегает. Так себя ведут не все собаки, и легко догадаться, какого рода опыт явился причиной такого поведения этой собаки.
Медведь в зоопарке «служит», т. е. , когда вблизи находится наблюдатель, он становится в смешную позу, которая довольно часто побуждает наблюдателя бросить в клетку кусок сахара. Медведь, живущий на воле, вероятно, никогда не принимает такой нелепой позы, и легко представить, какого рода опыт привел к тому, что медведь из зоопарка научился «служить».
Полное исследование индукции должно было бы, возможно, включать и изучение поведения животных.
1) Euler, Opera Omnia, ser, 1, vol. 2, p. 1—5. Hardy G. H. and Wright E. M. , An Introduction to the Theory of Numbers, p. 14—15.
(См. также Л. Эйлер, Письма к ученым, М. — Л. , 1963, стр. 283 — 285. — Прим. перев. )
2) В оригинале «а burnt child dreads the fire» — Прим. перев.
.
Комментарий:
Автор :
Автор :
Автор :