«Не верь ничему, но сомневайся только в том, в чем стоит сомневаться».
Смелость ума, честность ума и мудрая сдержанность — моральные достоинства ученого.
ПРИМЕРЫ И ПРИМЕЧАНИЯ К ГЛАВЕ I
1. Догадайтесь, в соответствии с каким правилом выбираются члены последовательности
11, 31, 41, 61, 71, 101, 131. . . . .
2. Рассмотрите таблицу:
1 == 0+1
2+3+4 . = 1+8 5+ 6+ 7+8+9 = 8 + 27 10+11 + 12 + 13+14+15+16 = 27+64
Догадайтесь, к какому общему закону подводят эти примеры; выразите его в подходящих математических обозначениях и докажите.
3. Рассмотрите значения последовательных сумм
1, 1+3, 1+3 + 5, 1+3 + 5+7, . . .
Имеется ли простое правило?
4. Рассмотрите значения последовательных сумм
1, 1+8, 1+8 + 27, 1+8 + 27 + 64, . . . Имеется ли простое правило?
5. Три стороны треугольника имеют соответственно длины тип. Числа /, т и п — целые положительные, /^msgn. Найдите число различных треугольников указанного вида для данного п. (Возьмите я=1, 2, 3, 4, 5, . . .
) Найдите общий закон, управляющий зависимостью числа треугольников от п.
6. Три первых члена последовательности 5, 15, 25, . . . (чисел, оканчивающихся на 5) делятся на 5. Делятся ли на 5 и следующие члены?
Три первых члена последовательности 3, 13, 23, . . . (чисел, оканчивающихся на 3) являются простыми числами. Будут ли простыми числами и следующие члены?
7. С помощью формальных вычислений находим (1 _|_ 1 \х + 2U2 + 31х3 + 41*4 + 5U5 + 6U ■ +. . =
= 1— х — х2 — 3*3—13*4 — 71*5_4б1х«. . .
Естественно возникают два предположения относительно следующих коэффициентов степенного ряда, стоящего в правой части: (1) все они отрицательны; (2) все они простые числа. Одинаково ли эти два предположения заслуживают доверия?
8. Положим
I1 1 + 2 3+"7 -Л°+ТГ+ 21+-Мы найдем, что для
п=0 123456 7 8 9 A„=l 1 1 2 4 14 38 216 600 6240. '
Сформулируйте предположение.
9. Великий французский математик Ферма рассмотрел последовательность
5, 17, 257, 65 537, . . .
.
Комментарий:
Автор :
Автор :
Автор Эразм:
В литературе всякий ценен не сам по себе, а лишь в своем взаимоотношении с целым.